Числовая окружность: определение и расположение

Что такое числовая окружность? 🎯

Представьте себе обычный циферблат часов, но только с математическим уклоном! Числовая окружность — это окружность единичного радиуса (R = 1), на которой отмечены числа, соответствующие углам поворота.

Это один из самых важных инструментов в тригонометрии, который поможет нам работать с синусами, косинусами и другими функциями.

💡 Запомните: числовая окружность имеет радиус R = 1. Это её главная особенность!

Давайте построим её вместе шаг за шагом.

Как построить числовую окружность? ➕

Следуйте этой инструкции, и у вас всё получится!

Нарисуйте обычную окружность и отметьте её центр — точку O.
Проведите две перпендикулярные оси:
- Горизонтальную ось — назовём её ось косинусов (ось x)
- Вертикальную ось — назовём её ось синусов (ось y)
Точки пересечения осей с окружностью будут ключевыми:
- Правая точка: (1; 0) — обозначим её как 0 или 2π
- Верхняя точка: (0; 1) — это π/2
- Левая точка: (-1; 0) — это π
- Нижняя точка: (0; -1) — это 3π/2

Вот как выглядит основная разметка:

Точка на окружности	Координаты	Число (радианы)
Самая правая	`(1; 0)`	`0` или `2π`
Самая верхняя	`(0; 1)`	`π/2`
Самая левая	`(-1; 0)`	`π`
Самая нижняя	`(0; -1)`	`3π/2`

📘 Совет: Не пугайтесь слова «радиан». Это просто другая единица измерения углов, более удобная для математики. π radians = 180°.

Как находить точки на числовой окружности? 🔍

Любому числу (например, π/6, π/4, π/3) на числовой прямой соответствует одна-единственная точка на нашей окружности.

Давайте найдём, где находится точка π/4.

Мы знаем, что π — это 180°. Значит, π/4 = 45°.
Отсчитываем от начальной точки (0) против часовой стрелки угол 45°.
Эта точка находится ровно посередине между 0 и π/2.
Её координаты: (√2/2; √2/2).

💡 Координаты точки на числовой окружности — это не что иное, как косинус и синус соответствующего угла! Для точки π/4: cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2.

Потренируемся на ещё одном примере. Где находится точка 5π/6?

5π/6 = 150° (поскольку π = 180°, значит (180°/6)*5 = 150°).
Отсчитываем 150° от начальной точки против часовой стрелки.
Эта точка находится во второй четверти, чуть ниже π/2.
Её координаты: (-√3/2; 1/2).

Откладываем отрицательные углы и углы больше 360° (2π) 🔁

На числовой окружности есть место всем числам! Даже отрицательным и очень большим.

Отрицательный угол (например, -π/3) отсчитывается от точки 0 по часовой стрелке.
Угол, больший 2π (например, 5π/2) означает, что мы сделали полный оборот (2π) и прошли ещё дополнительно π/2. В итоге мы окажемся в точке π/2.

🎯 Главное правило: Точкам, отличающимся на целое число полных оборотов (2πk, где k — целое число), соответствует одна и та же точка на числовой окружности. t = t + 2πk

Закрепляем на практике 🧮

Давайте решим несколько задач вместе.

Задача 1

Условие: Какой точке на числовой окружности соответствует число 17π/2?

Решение:

Поймём, сколько полных оборотов содержится в этом числе. Один полный оборот = 2π = 4π/2.
Разделим 17π/2 на 4π/2 (то есть на 2π). 17 / 4 = 4 целых оборота и в остатке 1 (поскольку 4 * 4 = 16, 17 - 16 = 1).
Значит, 17π/2 = 4 * (2π) + π/2.
4 полных оборота нас не интересуют, они приведут нас в начальную точку. А вот оставшийся π/2 — это верхняя точка окружности.
Ответ: Числу 17π/2 соответствует точка с координатами (0; 1).