Доказательство неравенств методом математической индукции

🎯 Что такое метод математической индукции?

Представь, что тебе нужно доказать утверждение, которое верно для всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4... и так далее). Проверять каждое число по отдельности — задача невозможная, их же бесконечно много! Здесь на помощь приходит метод математической индукции. Это как построить бесконечный ряд костяшек домино: если ты толкнёшь первую, и каждая последующая костяшка при падении задевает следующую, то упадут все.

💡 Метод математической индукции состоит всего из двух шагов, но выполнить их нужно безупречно.

📋 Два шага метода

Любое доказательство по индукции строится на двух фундаментальных шагах:

База индукции. Нужно проверить, что утверждение верно для самого первого числа (чаще всего для n = 1). Это как поставить и толкнуть первую костяшку домино.
Индукционный переход. Нужно доказать, что ЕСЛИ утверждение верно для какого-то натурального числа n = k, ТО оно будет верно и для следующего числа n = k + 1. Это и есть гарантия того, что каждая упавшая костяшка повалит следующую за ней.

Если оба эти шага выполнены, можно сделать вывод, что утверждение верно для всех натуральных чисел.

📌 Запомни: оба шага обязательны. Если нет базы — не с чего начинать падение. Если не доказан переход — цепь падения прервётся.

🧮 Доказываем неравенство: разберём на примере

Давай докажем, что для всех натуральных чисел n ≥ 3 выполняется неравенство:

2ⁿ > 2n + 1

🔹 Шаг 1: База индукции

Начнём с первого числа, которое нам дано — n = 3. Подставим его в наше неравенство и проверим, верно ли оно.

2³ > 2*3 + 1
8 > 6 + 1
8 > 7

✅ Неравенство 8 > 7 является верным. Значит, база индукции доказана для n = 3.

🔹 Шаг 2: Индукционный переход

Теперь самое интересное. Предположим, что наше неравенство верно для некоторого числа n = k (где k ≥ 3). Это наше предположение, или индукционное предположение. Запишем его:

2ᵏ > 2k + 1   (1)

Теперь нам нужно доказать, что исходя из этого предположения, неравенство будет верно и для следующего числа, то есть для n = k + 1. Запишем, что нам нужно доказать:

2ᵏ⁺¹ > 2(k + 1) + 1   (2)

Упростим правую часть:

2ᵏ⁺¹ > 2k + 2 + 1
2ᵏ⁺¹ > 2k + 3

Теперь воспользуемся нашим предположением (1). Мы знаем, что 2ᵏ > 2k + 1. Давай преобразуем выражение (2) так, чтобы в нём появилось 2ᵏ.

2ᵏ⁺¹ = 2 * 2ᵏ

Мы знаем из (1), что 2ᵏ > 2k + 1. Поскольку мы умножаем обе части неравенства на положительное число (2), знак неравенства сохраняется. Поэтому:

2 * 2ᵏ > 2 * (2k + 1)
2ᵏ⁺¹ > 4k + 2   (3)

Теперь давай сравним правые части неравенства, которое мы получили (3), и того, что нам нужно доказать (2k + 3).

4k + 2 > 2k + 3   (верно ли это?)
4k + 2 > 2k + 3
4k - 2k > 3 - 2
2k > 1

Это неравенство верно при k ≥ 1, а у нас k ≥ 3, тем более. Мы получили цепочку:

2ᵏ⁺¹ > 4k + 2 > 2k + 3

Следовательно, 2ᵏ⁺¹ > 2k + 3, а это и есть то, что нам нужно было доказать (2).

✅ Индукционный переход выполнен. Мы показали, что из справедливости неравенства для k следует его справедливость для k + 1.

🎯 Вывод: поскольку мы доказали базу индукции и индукционный переход, по принципу математической индукции исходное неравенство 2ⁿ > 2n + 1 верно для всех натуральных n ≥ 3.

💡 Советы и частые ошибки

Совет	Пример ошибки
Всегда чётко выделяй два шага: базу и переход.	Начать доказательство сразу с предположения для `n = k`, забыв проверить `n = 1`.
В индукционном переходе явно напиши, что ты предполагаешь (для `k`) и что ты доказываешь (для `k+1`).	Подменить тезис и пытаться доказать утверждение для `k`, а не для `k+1`.
Преобразовывай выражение для `k+1`, чтобы использовать предположение для `k`.	Работать только с выражением для `k`, никак не связывая его с выражением для `k+1`.
Внимательно следи за знаками неравенства, особенно при умножении или делении.	Умножить неравенство на отрицательное число и забыть поменять знак.

✏️ Задача для самостоятельного решения

Попробуй доказать по индукции, что для всех натуральных чисел n > 1 выполняется неравенство:

1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n > √n