Формула Бернулли: применение в задачах

🎯 Что такое формула Бернулли?

Представь себе ситуацию: ты подбрасываешь монетку несколько раз подряд. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза из 5 попыток? Именно для решения таких задач и существует формула Бернулли!

Эта формула помогает нам рассчитать вероятность того, что событие наступит ровно k раз в серии из n независимых испытаний.

💡 Независимые испытания — это такие, где результат одного не влияет на результат другого. Например, каждое подбрасывание монетки — независимое событие.

🧮 Выводим формулу

Давай разберёмся, из чего состоит эта формула. Для её понимания нам понадобятся три компонента:

• Вероятность успеха (p) — вероятность наступления события в одном испытании
• Вероятность неудачи (q) — вероятность ненаступления события (q = 1 - p)
• Число сочетаний (C_n^k) — сколько раз можно выбрать k успехов из n испытаний

Сама формула выглядит так:

Pn(k) = Cnk × pk × qn-k

Где:

• Cnk = n! / (k! × (n-k)!)
• p — вероятность успеха в одном испытании
• q = 1 - p — вероятность неудачи
• n — количество испытаний
• k — количество успехов

📝 Решаем задачи шаг за шагом

Давай рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как применять формулу на практике.

Задача 1: Подбрасывание монеты

Условие: Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза?

Решение:

1. Определяем параметры:
   • n = 6 (количество испытаний)
   • k = 2 (количество успехов)
   • p = 0,5 (вероятность выпадения орла)
   • q = 1 - 0,5 = 0,5 (вероятность выпадения решки)
2. Находим число сочетаний:

   C62 = 6! / (2! × 4!) = (6×5×4×3×2×1) / ((2×1) × (4×3×2×1)) = 15

3. Подставляем в формулу Бернулли:

   P6(2) = 15 × (0,5)2 × (0,5)4 = 15 × 0,25 × 0,0625 = 0,234375

4. Ответ: вероятность равна примерно 0,234 или 23,4%

Задача 2: Стрелок в тире

Условие: Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он делает 5 выстрелов. Какова вероятность, что он попадёт ровно 3 раза?

Решение:

1. Определяем параметры:
   • n = 5
   • k = 3
   • p = 0,8
   • q = 1 - 0,8 = 0,2
2. Находим число сочетаний:

   C53 = 5! / (3! × 2!) = (5×4×3×2×1) / ((3×2×1) × (2×1)) = 10

3. Подставляем в формулу:

   P5(3) = 10 × (0,8)3 × (0,2)2 = 10 × 0,512 × 0,04 = 0,2048

4. Ответ: вероятность равна 0,2048 или 20,48%

📊 Таблица для запоминания формулы

🎯 Совет: Всегда проверяй, являются ли испытания независимыми — это обязательное условие для применения формулы Бернулли!

🔢 Практикуемся: задачи для самостоятельного решения

Попробуй решить эти задачи самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задача 3

Игральный кубик бросают 4 раза. Какова вероятность, что цифра 6 выпадет ровно 2 раза?

C42 = 6
P = 6 × (1/6)2 × (5/6)2 = 6 × 1/36 × 25/36 = 150/1296 ≈ 0,1157

Задача 4

Вероятность того, что лампа перегорит в течение года, равна 0,2. В люстре 5 ламп. Какова вероятность, что ровно 3 из них перегорят в течение года?

C53 = 10
P = 10 × (0,2)3 × (0,8)2 = 10 × 0,008 × 0,64 = 0,0512

✨ Важные моменты и типичные ошибки

• Независимость событий — формула работает только когда испытания не влияют друг на друга
• Постоянство вероятности — вероятность успеха p должна быть одинаковой в каждом испытании
• Аккуратность в вычислениях — особенно при работе с дробями и степенями