Формула Ньютона-Лейбница

📌 Что такое формула Ньютона-Лейбница?

Представь, что тебе нужно найти площадь фигуры сложной формы — например, под кривой графика функции. Раньше мы делали это приближённо, с помощью сумм. Но теперь у нас есть мощный инструмент — определённый интеграл! А формула Ньютона-Лейбница — это ключ к его вычислению.

🎯 Формула Ньютона-Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функцией. Она показывает, что для вычисления площади под кривой достаточно найти первообразную и подставить в неё границы интегрирования.

Давай разберёмся шаг за шагом!

---

📘 Основные понятия: первообразная и интеграл

Чтобы понять формулу, вспомним два важных определения:

• Первообразная функции f(x) — это такая функция F(x), что F'(x) = f(x). То есть производная первообразной равна исходной функции.
• Определённый интеграл от a до b обозначается как ∫ab f(x) dx и численно равен площади под кривой f(x) на отрезке от a до b.

Формула Ньютона-Лейбница соединяет эти два понятия!

---

🧮 Сама формула

Вот как она выглядит:

∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)

Где:

• ∫ab f(x) dx — определённый интеграл от функции f(x) в пределах от a до b
• F(x) — любая первообразная функции f(x)
• F(b) - F(a) — разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах

💡 Запомни: при вычислении всегда вычитаем значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе!

Для обозначения разности F(b) - F(a) часто используют компактную запись:

F(x)│ab  или  F(x)|ab

---

🔢 Пошаговый алгоритм вычисления

1. Найди первообразную функцию F(x) для подынтегральной функции f(x)
2. Подставь верхний предел b в первообразную: вычисли F(b)
3. Подставь нижний предел a в первообразную: вычисли F(a)
4. Найди разность: F(b) - F(a)

Вот и всё! Полученное число и будет значением определённого интеграла.

---

📝 Пример 1: Простое вычисление

Задача: Вычислить интеграл ∫13 2x dx

Решение:

1. Находим первообразную для 2x. Помни, что первообразная для xⁿ равна xⁿ⁺¹/(n+1):

   F(x) = (2x²)/2 = x²

   (Можно было также записать F(x) = x² + C, но константа C сократится)
2. Вычисляем значение первообразной на верхнем пределе:

   F(3) = 3² = 9

3. Вычисляем значение первообразной на нижнем пределе:

   F(1) = 1² = 1

4. Находим разность:

   ∫13 2x dx = F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8

Значит, площадь под прямой y = 2x от x = 1 до x = 3 равна 8.

---

📝 Пример 2: Интеграл от степенной функции

Задача: Вычислить ∫02 (x³ + 2x - 1) dx

Решение:

1. Находим первообразную:

   F(x) = x⁴/4 + 2x²/2 - x = x⁴/4 + x² - x

2. Вычисляем F(2):

   F(2) = (2⁴)/4 + 2² - 2 = 16/4 + 4 - 2 = 4 + 4 - 2 = 6

3. Вычисляем F(0):

   F(0) = (0⁴)/4 + 0² - 0 = 0

4. Находим разность:

   ∫02 (x³ + 2x - 1) dx = F(2) - F(0) = 6 - 0 = 6

🔍 Интересный факт: когда нижний предел равен 0, значение первообразной в нуле часто бывает равно нулю, что упрощает вычисления!

---

📝 Пример 3: С дробными степенями

Задача: Вычислить ∫14 √x dx

Решение:

1. Запишем корень как степень:

   √x = x¹⸍²

2. Найдём первообразную:

   F(x) = (x¹⸍²⁺¹)/(1/2 + 1) = (x³⸍²)/(3/2) = (2/3)x³⸍²

3. Вычислим F(4):

   F(4) = (2/3)*4³⸍² = (2/3)*(√4)³ = (2/3)*2³ = (2/3)*8 = 16/3

4. Вычислим F(1):

   F(1) = (2/3)*1³⸍² = (2/3)*1 = 2/3

5. Найдём разность:

   ∫14 √x dx = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4,67