Формулы приведения: правила и применение

Что такое формулы приведения и зачем они нужны? 🤔

Представь, что ты работаешь с тригонометрическими функциями (синус, косинус, тангенс, котангенс) и встречаешь большой угол, например, 120°, 210° или даже 315°. Сразу посчитать их значение не так-то просто! Формулы приведения — это специальные правила, которые позволяют заменить тригонометрическую функцию от большого угла на функцию от острого угла (от 0° до 90°), которую мы уже хорошо знаем из таблицы значений.

🎯 Главная цель формул приведения — упростить вычисления, сведя работу к знакомым углам первой четверти.

Основное правило: два простых шага 🪜

Чтобы применять эти формулы, не нужно зубрить огромные таблицы. Достаточно запомнить два шага и одно простое мнемоническое правило.

Шаг 1: Определяем, меняется ли функция на ко-функцию.

Если угол можно представить как 90° ± α или 270° ± α — функция меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
Если угол можно представить как 180° ± α или 360° ± α — функция остается прежней.

Шаг 2: Определяем знак результата.

Смотрим, в какой четверти находится исходный угол, и вспоминаем, какой знак имеет искомая функция в этой четверти.

📘 Простое правило для знака: ставим тот знак, который имеет исходная функция в данной четверти.

Мнемоническое правило "Зеленая Автостоянка" 🚗

Чтобы легко запомнить, когда ставится знак «+», а когда «–», используй фразу:

"Все Старики Гуляют, Ковыляют"

Первые буквы слов подсказывают, какие функции положительны в каждой четверти:

(I) — Все функции положительны
(II) — только Синус положителен
(III) — только Тангенс и Котангенс положительны
(IV) — только Косинус положителен

Просто нарисуй круг, подпиши четверти и первые буквы фразы — и знаки всегда будут перед глазами!

Таблица-шпаргалка для самых популярных случаев 📋

Эта таблица поможет тебе быстро сориентироваться. Здесь α — это всегда острый угол (от 0° до 90°).

Функция и угол	Упрощается до	Пример
`sin(90° - α)`	`+cos α`	`sin(90° - 30°) = cos 30°`
`sin(90° + α)`	`+cos α`	`sin(90° + 30°) = cos 30°`
`sin(180° - α)`	`+sin α`	`sin(180° - 30°) = sin 30°`
`sin(180° + α)`	`-sin α`	`sin(180° + 30°) = -sin 30°`
`cos(90° - α)`	`+sin α`	`cos(90° - 30°) = sin 30°`
`cos(90° + α)`	`-sin α`	`cos(90° + 30°) = -sin 30°`
`cos(180° - α)`	`-cos α`	`cos(180° - 30°) = -cos 30°`

Решаем задачи вместе! ✍️

Давай закрепим теорию на практике. Решим несколько задач по шагам.

Задача 1. Упрости выражение: `sin(120°)`

Шаг 1. Представляем угол 120° как угол второй четверти. Нам подойдет представление 180° - 60°.

sin(120°) = sin(180° - 60°)

Шаг 2. Определяем, меняется ли функция. Угол вида 180° - α — функция не меняется (остается синус).

Шаг 3. Определяем знак. Угол 120° находится во II четверти. Синус во II четверти положителен (вспоминаем наше правило "Старики" — буква С значит Синус). Ставим знак «+».

sin(180° - 60°) = + sin(60°)

Ответ:

sin(120°) = sin(60°) = √3/2

Задача 2. Упрости выражение: `cos(210°)`

Шаг 1. Представляем угол 210° как угол третьей четверти. Нам подойдет представление 180° + 30°.

cos(210°) = cos(180° + 30°)

Шаг 2. Угол вида 180° + α — функция не меняется (остается косинус).

Шаг 3. Определяем знак. Угол 210° находится в III четверти. Косинус в III четверти отрицателен (в III четверти положительны только тангенс и котангенс). Ставим знак «-».

cos(180° + 30°) = - cos(30°)