Функция y = cos x: график и свойства

📘 Что такое функция y = cos x?

Функция y = cos x — это одна из основных тригонометрических функций, которая показывает зависимость между углом x (обычно в радианах) и значением косинуса этого угла. Если представить единичную окружность, то косинус угла — это координата точки по оси OX.

💡 Запомни: Косинус угла всегда находится в промежутке от -1 до 1, то есть -1 ≤ cos x ≤ 1.

Эта функция периодическая — её значения повторяются через определённые промежутки. Давай разберёмся подробнее!

---

📈 График функции y = cos x

График функции y = cos x называется косинусоидой. Он очень похож на синусоиду, но смещён относительно неё.

Чтобы построить график, нужно отметить ключевые точки на координатной плоскости. Вот основные значения:

x (радианы)	x (градусы)	y = cos x
0	0°	1
π/2	90°	0
π	180°	-1
3π/2	270°	0
2π	360°	1

Если соединить эти точки плавной линией, получится волнообразный график, который бесконечно повторяется.

🎯 Совет: Запомни формулу для перевода градусов в радианы: радианы = градусы × π / 180. Это пригодится при построении графика!

График симметричен относительно оси OY — это значит, что cos(-x) = cos x. Такие функции называются чётными.

---

🔍 Свойства функции y = cos x

1. Область определения

Функция определена для любого действительного числа x. То есть x ∈ R.

2. Область значений

Косинус не может быть меньше -1 и больше 1. Поэтому y ∈ [-1; 1].

3. Периодичность

Функция повторяется каждые 2π радиан. Это её период: cos(x + 2π) = cos x.

4. Чётность

Как мы уже заметили, функция чётная: cos(-x) = cos x. График симметричен относительно оси OY.

5. Точки пересечения с осями

• С осью OY: при x = 0, y = cos 0 = 1. Точка (0; 1).
• С осью OX: это точки, где cos x = 0. Они находятся в x = π/2 + πk, где k — любое целое число.

6. Промежутки возрастания и убывания

• Убывает на промежутке [0; π]
• Возрастает на промежутке [π; 2π]

📘 На заметку: Эти свойства повторяются каждый период, поэтому достаточно запомнить поведение функции на отрезке [0; 2π].

---

🧮 Примеры задач

Задача 1

Найдите значение функции y = cos x при x = π/3.

Решение:

1. Вспоминаем таблицу значений: cos(π/3) = 1/2.
2. Ответ: y = 0.5.

Задача 2

Определите, является ли функция y = cos x возрастающей на промежутке [π; 2π].

Решение:

1. Вспоминаем свойства: на [π; 2π] функция возрастает.
2. Это можно проверить по графику или по значениям: например, cos π = -1, а cos 2π = 1.
3. Ответ: да, является.

Задача 3

Найдите все точки пересечения графика функции y = cos x с осью OX на промежутке [0; 2π].

Решение:

1. Точки пересечения с осью OX — это решения уравнения cos x = 0.
2. На промежутке [0; 2π] это точки x = π/2 и x = 3π/2.
3. Ответ: (π/2; 0) и (3π/2; 0).

---

✨ Закрепление материала

Давай повторим главное о функции y = cos x:

• 📏 Её график — косинусоида, которая бесконечно повторяется.
• 🔄 Период функции — 2π.
• 📊 Область значений — отрезок [-1; 1].
• 🔁 Функция чётная: cos(-x) = cos x.
• ↗️ Убывает на [0; π] и возрастает на [π; 2π].

🔥 Важно: Понимание функции y = cos x — основа для изучения более сложных тем, например, преобразований графиков и решения тригонометрических уравнений. Удели ей особое внимание!

Потренируйся строить график по точкам и определять его свойства — это поможет тебе уверенно чувствовать себя на контрольных и экзаменах. Удачи! 😊