Функция y = ctg x: график и свойства

Что такое котангенс? 📘

Давай вспомним: котангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Но сегодня мы будем говорить о котангенсе не просто как об отношении сторон, а как о полноценной математической функции.

Функция котангенса записывается так:

y = ctg x

Где x — это угол (обычно в радианах), а y — значение котангенса этого угла.

Котангенс тесно связан с тангенсом. Ты ведь помнишь, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему? Так вот:

ctg x = 1 / tg x (если тангенс не равен нулю)

Это важное соотношение, которое нам очень пригодится!

Область определения и множество значений 🔍

Давай разберемся, какие значения может принимать x и какие значения будет принимать y.

Поскольку ctg x = cos x / sin x, котангенс не существует там, где синус равен нулю (на нуль делить нельзя!).

Синус равен нулю в точках:

x = πk, где k — любое целое число (k ∈ Z)

Поэтому область определения:

x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z

Теперь про множество значений. Котангенс может принимать абсолютно любые действительные числа:

y ∈ R (вся числовая прямая)

Котангенс не ограничен сверху и снизу — он может быть как угодно большим по модулю.

Периодичность и нечетность 🔁

Функция y = ctg x является периодической. Это значит, что ее значения повторяются через определенные промежутки.

Период котангенса равен π (180 градусов):

ctg(x + πk) = ctg x, где k ∈ Z

Также котангенс является нечетной функцией:

ctg(-x) = -ctg x

Это свойство означает, что график функции симметричен относительно начала координат.

Построение графика функции 📈

Теперь самое интересное — построение графика! Мы будем строить его постепенно.

Сначала рассмотрим поведение функции на интервале (0; π) — это основной период.

Составим таблицу значений:

x	ctg x
π/6 (30°)	√3 ≈ 1,73
π/4 (45°)	1
π/3 (60°)	1/√3 ≈ 0,58
π/2 (90°)	0
2π/3 (120°)	-1/√3 ≈ -0,58
3π/4 (135°)	-1
5π/6 (150°)	-√3 ≈ -1,73

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и плавно соединим их.

Обрати внимание на поведение функции near границ интервала:

При x → 0+ (справа от 0): ctg x → +∞
При x → π- (слева от π): ctg x → -∞

Через точку (π/2; 0) график проходит через ноль.

Теперь, используя периодичность с периодом π, продолжим график на всю числовую прямую. На местах, где x = πk, будут вертикальные асимптоты.

🎯 Совет: График котангенса состоит из бесконечного количества одинаковых ветвей, каждая из которых расположена между двумя соседними асимптотами.

Свойства функции y = ctg x 📋

Давай систематизируем все свойства функции:

Свойство	Значение/описание
Область определения	`x ≠ πk, k ∈ Z`
Множество значений	`y ∈ R` (вся числовая прямая)
Периодичность	Период `π`
Четность	Нечетная функция
Нули функции	`x = π/2 + πk, k ∈ Z`
Промежутки знакопостоянства	`ctg x > 0` при `x ∈ (πk; π/2 + πk)` `ctg x < 0` при `x ∈ (π/2 + πk; π + πk)`
Монотонность	Убывает на каждом интервале `(πk; π + πk)`
Асимптоты	Вертикальные: `x = πk, k ∈ Z`

Практические задачи 🧮

Задача 1

Найдите значение выражения: ctg(45°) + ctg(135°)

Решение:

1. ctg(45°) = 1

2. ctg(135°) = ctg(180° - 45°) = -ctg(45°) = -1

3. 1 + (-1) = 0

Ответ: 0

Задача 2

Решите уравнение: ctg x = √3

Решение:

1. Мы знаем, что ctg(π/6) = √3

2. Учитывая периодичность: x = π/6 + πk, k ∈ Z

Ответ: x = π/6 + πk, k ∈ Z

Задача 3

Постройте график функции y = ctg(x - π/4) и укажите его основные свойства.