Функция y = sin x: график и свойства

Что такое функция y = sin x? 🎯

Давай представим, что ты качаешься на качелях. Твое движение вверх-вниз — это и есть синусоида! Функция y = sin x описывает именно такие периодические колебания.

В математике синус — это тригонометрическая функция, которая показывает отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Но сегодня мы будем изучать ее как функцию от угла, поворачивающегося по окружности.

💡 Запомни: аргумент x — это угол (обычно в радианах), а y — значение синуса этого угла, которое всегда находится между -1 и 1.

Как построить график синуса? 📈

График функции y = sin x называется синусоидой. Давай построим его шаг за шагом!

Сначала заполним таблицу ключевых значений:

Угол x (радианы)	Угол x (градусы)	sin x
0	0°	0
π/6	30°	1/2
π/4	45°	√2/2
π/3	60°	√3/2
π/2	90°	1
π	180°	0
3π/2	270°	-1
2π	360°	0

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и плавно соединим их. Получится красивая волна, которая бесконечно повторяется!

🎨 Совет: представь движение точки по единичной окружности. Ее координата y — это и есть sin x!

---

Основные свойства функции y = sin x 🔍

Теперь разберем важные математические характеристики нашей синусоиды.

1. Область определения и значений

• Область определения: все действительные числа (x ∈ R)
• Область значений: от -1 до 1 включительно (y ∈ [-1; 1])

2. Периодичность 🔁

Функция периодическая с периодом T = 2π. Это значит, что:

sin(x + 2π) = sin x

График полностью повторяется каждые 2π радиан!

3. Четность и нечетность

Синус — нечетная функция. Это видно по графику (симметрия относительно начала координат) и по формуле:

sin(-x) = -sin x

4. Промежутки монотонности ↗️↘️

• Возрастает на промежутках: [-π/2 + 2πk; π/2 + 2πk]
• Убывает на промежутках: [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk]

где k — любое целое число (k ∈ Z)

5. Точки экстремума 🔺

• Максимум: y = 1 при x = π/2 + 2πk
• Минимум: y = -1 при x = 3π/2 + 2πk

6. Нули функции ✖️

Функция равна нулю при:

x = πk, где k ∈ Z

То есть в точках: ..., -2π, -π, 0, π, 2π, ...

---

Практические задачи 🧮

Давай закрепим знания на практике!

Задача 1

Найти значение функции y = sin x при x = 5π/2.

📘 Решение:

Мы знаем, что период синуса равен 2π. Упростим угол:

5π/2 = π/2 + 2π

Так как через полный период значение функции не меняется:

sin(5π/2) = sin(π/2 + 2π) = sin(π/2) = 1

Ответ: 1

Задача 2

Определить, возрастает или убывает функция на промежутке [3π/2; 5π/2].

📘 Решение:

Преобразуем промежуток:

3π/2 = -π/2 + 2π
5π/2 = π/2 + 2π

Получаем промежуток: [-π/2 + 2π; π/2 + 2π]

Это как раз промежуток возрастания функции!

Ответ: функция возрастает на данном промежутке

Задача 3

Решить уравнение: sin x = 0

📘 Решение:

Мы знаем, что синус равен нулю в точках:

x = πk, где k — любое целое число (k ∈ Z)

Это и есть решение уравнения!

Ответ: x = πk, k ∈ Z

---

Почему это важно? 💫

Синусоида — одна из самых важных функций в математике и физике. Она описывает:

• Колебания маятника 🎢
• Звуковые и световые волны 🔊
• Переменный электрический ток ⚡
• Приливы и отливы 🌊

Понимание свойств синуса поможет тебе не только в математике, но и в физике, инженерии и даже в музыке!

🌟 Запомни: синусоида — это гармония и ритм, записанные на языке математики. Теперь ты можешь читать этот язык!

Продолжай практиковаться в построении графиков и решении задач. У тебя все получается! 😊