Функция y = tg x: график и свойства

Что такое тангенс и его график?

Сегодня мы разберем одну из самых интересных тригонометрических функций — тангенс! 🌟 Представьте, что вы на качелях: в некоторых точках вы поднимаетесь очень высоко, а в других — находитесь близко к земле. График тангенса чем-то похож на такие качели!

Тангенс угла x определяется через синус и косинус:

tg x = sin x / cos x

Это значит, что тангенс существует только там, где косинус не равен нулю, ведь на ноль делить нельзя! 🚫

Как построить график функции y = tg x

Давайте построим график по точкам. Запомним основные значения:

x (в радианах)	x (в градусах)	y = tg x
`0`	0°	`0`
`π/6`	30°	`√3/3 ≈ 0.58`
`π/4`	45°	`1`
`π/3`	60°	`√3 ≈ 1.73`
`π/2`	90°	не существует ∞

График состоит из отдельных ветвей, которые повторяются каждые π радиан (180°). Каждая ветвь стремится к бесконечности при приближении к π/2 + πk, где k — целое число.

🔍 Совет: Обратите внимание, что график тангенса симметричен относительно начала координат! Это важное свойство нечетности.

Основные свойства функции y = tg x

Область определения: все действительные числа, кроме x = π/2 + πk, k ∈ Z
Область значений: y ∈ R (все действительные числа)
Периодичность: период T = π радиан
Нечетность: tg(-x) = -tg x — график симметричен относительно начала координат
Возрастание: функция возрастает на каждом интервале определения
Нули функции: x = πk, k ∈ Z

Запомните эти свойства — они помогут вам легко анализировать поведение функции в различных задачах! 📘

Практические задачи с решениями

Задача 1

Найдите область определения функции: y = tg(2x + π/3)

📌 Решение:

Мы знаем, что тангенс определен, когда аргумент не равен π/2 + πk

Составим неравенство: 2x + π/3 ≠ π/2 + πk, k ∈ Z

Решаем: 2x ≠ π/2 - π/3 + πk

2x ≠ π/6 + πk

x ≠ π/12 + πk/2, k ∈ Z

Ответ: x ∈ R, кроме x = π/12 + πk/2, k ∈ Z

Задача 2

Постройте график функции: y = tg(x - π/4)

📌 Решение:

Это график обычного тангенса, сдвинутый вправо на π/4

Вертикальные асимптоты теперь будут там, где x - π/4 = π/2 + πk

То есть при: x = 3π/4 + πk, k ∈ Z

Нули функции: x - π/4 = πk → x = π/4 + πk, k ∈ Z

Задача 3

Решите уравнение: tg(3x) = √3

📌 Решение:

Мы знаем, что tg(π/3) = √3

Поэтому: 3x = π/3 + πk, k ∈ Z

x = π/9 + πk/3, k ∈ Z

Ответ: x = π/9 + πk/3, k ∈ Z

Интересные факты о тангенсе

📏 Тангенс угла наклона прямой равен ее угловому коэффициенту в уравнении y = kx + b
🏔 В реальной жизни тангенс используется для расчета крутизны склонов в географии и строительстве
🔺 Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему

💡 Запомните: Тангенс — это не просто абстрактная функция! Она имеет множество практических применений в физике, инженерии и компьютерной графике.

Закрепление материала

Чтобы лучше понять график тангенса, попробуйте:

Построить график на бумаге, отмет key точки
Решить несколько уравнений вида tg(ax + b) = c
Придумать свои задачи на определение области определения

Не бойтесь ошибаться! Математика — это язык, который требует практики. 💪

✨ Успехов в изучении тригонометрии! Помните, что каждая новая тема — это шаг к пониманию красоты и гармонии математического мира.