Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Что такое наибольшее и наименьшее значение функции? 🎯

Представь, что функция — это горный пейзаж с холмами и впадинами. Наибольшее значение — это самая высокая вершина, а наименьшее — самая низкая точка долины. Сегодня мы научимся их находить!

Это умение пригодится не только в математике, но и в жизни: для расчёта максимальной прибыли, минимальных затрат или оптимального маршрута.

Алгоритм поиска 📘

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, действуем по плану:

Найти производную функции
Приравнять производную к нулю и найти критические точки
Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку
Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка
Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее

💡 Запомни: сравниваем значения не только в критических точках, но и на концах отрезка! Иногда именно там скрываются экстремальные значения.

Разберём на примере 🔍

Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ - 3x² на отрезке [-1; 4]

Шаг 1: Находим производную

f'(x) = 3x² - 6x

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение

3x² - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0, x = 2

Шаг 3: Проверяем, попадают ли критические точки в наш отрезок

Обе точки: 0 ∈ [-1;4] и 2 ∈ [-1;4]

Шаг 4: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка

f(-1) = (-1)³ - 3*(-1)² = -1 - 3 = -4
f(0) = 0³ - 3*0² = 0
f(2) = 2³ - 3*2² = 8 - 12 = -4
f(4) = 4³ - 3*4² = 64 - 48 = 16

Шаг 5: Выбираем наибольшее и наименьшее значение

Наибольшее: max{-4, 0, -4, 16} = 16
Наименьшее: min{-4, 0, -4, 16} = -4

Ответ: Наибольшее значение равно 16, наименьшее значение равно -4.

Особые случаи 🔺

Иногда функция может не иметь критических точек на отрезке. В этом случае наибольшее и наименьшее значения будут достигаться на концах отрезка.

Пример: f(x) = 2x + 1 на отрезке [0; 5]

Производная: f'(x) = 2 (никогда не равна нулю)
Вычисляем: f(0) = 1, f(5) = 11
Ответ: наименьшее = 1, наибольшее = 11

Практические задачи 🧮

Задача 1: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x² - 4x + 5 на отрезке [1; 4]

Решение

1. Производная: f'(x) = 2x - 4

2. Приравниваем к нулю: 2x - 4 = 0 → x = 2

3. Точка x = 2 принадлежит отрезку [1; 4]

4. Вычисляем значения:

f(1) = 1² - 4*1 + 5 = 2
f(2) = 2² - 4*2 + 5 = 1
f(4) = 4² - 4*4 + 5 = 5

5. Ответ: наименьшее значение = 1, наибольшее значение = 5

Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ - 6x² + 9x на отрезке [0; 5]

Решение

1. Производная: f'(x) = 3x² - 12x + 9

2. Приравниваем к нулю: 3x² - 12x + 9 = 0 → x² - 4x + 3 = 0

Корни: x = 1, x = 3

3. Обе точки принадлежат отрезку [0; 5]

4. Вычисляем значения:

f(0) = 0
f(1) = 1³ - 6*1² + 9*1 = 4
f(3) = 3³ - 6*3² + 9*3 = 0
f(5) = 5³ - 6*5² + 9*5 = 20

5. Ответ: наименьшее значение = 0, наибольшее значение = 20

Полезные советы 💡

Всегда проверяйте, принадлежат ли критические точки заданному отрезку
Не забывайте вычислять значения функции на концах отрезка
Внимательно считайте производные — от этого зависит правильность решения
Если производная не равна нулю на отрезке — экстремумы только на концах

🌟 Главное — не бойтесь ошибаться! Каждая решённая задача делает вас сильнее в математике.

Закрепляем знания 📏

Попробуй самостоятельно решить:

Задача для самопроверки: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x³ - 9x² + 12x на отрезке [0; 3]

Не забудь проверить все критические точки и значения на концах отрезка! У тебя обязательно получится! ✨