Неопределенный интеграл

Что такое неопределенный интеграл? 🤔

Представь, что ты знаешь скорость движения автомобиля в каждый момент времени, но не знаешь сам закон движения — какой путь он прошел. Или знаешь, как быстро наполняется бассейн, но не знаешь, сколько воды в нем уже есть. Обратная операция нахождения самой функции по ее производной называется интегрированием.

Если производная — это мгновенная скорость изменения функции, то интеграл — это восстановление самой функции по известной скорости ее изменения.

💡 Простыми словами: Интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию. Если производная отвечает на вопрос "Как быстро меняется функция?", то интеграл отвечает на вопрос "Какая функция имела такую скорость изменения?".

Обозначение и основные понятия 📝

Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается так:

∫ f(x) dx

Здесь:
• ∫ — знак интеграла
• f(x) — подынтегральная функция
• dx — дифференциал, указывающий переменную интегрирования

Результатом интегрирования является семейство функций F(x) + C, где:
• F(x) — первообразная функция (такая, что F'(x) = f(x))
• C — произвольная постоянная (константа интегрирования)

🎯 Почему "+ C"? Потому что производная константы всегда равна нулю! Если F(x) является первообразной, то и F(x) + 5, и F(x) - 3 тоже будут первообразными, так как производная константы исчезает.

---

Таблица основных интегралов 📋

Так же, как и с производными, для интегрирования есть основная таблица, которую нужно знать. Она строится на обращении формул дифференцирования.

Функция	Интеграл
∫ 0 dx	C
∫ 1 dx	x + C
∫ xⁿ dx	xⁿ⁺¹/(n+1) + C, где n ≠ -1
∫ 1/x dx	ln|x| + C
∫ eˣ dx	eˣ + C
∫ aˣ dx	aˣ/ln(a) + C
∫ sin(x) dx	-cos(x) + C
∫ cos(x) dx	sin(x) + C

📘 Запомни: При интегрировании степенной функции xⁿ показатель степени увеличивается на 1, а затем мы делим на этот новый показатель.

---

Свойства неопределенного интеграла 🔧

Интегрирование обладает важными свойствами, которые помогают упрощать вычисления:

• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

  ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx

• Интеграл суммы равен сумме интегралов:

  ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

• Интеграл разности равен разности интегралов:

  ∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx

Методы интегрирования 🛠️

1. Непосредственное интегрирование

Этот метод используется, когда интеграл можно свести к табличному с помощью простых преобразований.

Пример: Найти интеграл ∫ (3x² + 2x - 5) dx

Решение:

1. Разбиваем на сумму интегралов:

   ∫ 3x² dx + ∫ 2x dx - ∫ 5 dx

2. Выносим постоянные множители:

   3∫ x² dx + 2∫ x dx - 5∫ dx

3. Интегрируем по таблице:

   3·(x³/3) + 2·(x²/2) - 5x + C

4. Упрощаем:

   x³ + x² - 5x + C

2. Метод подстановки (замена переменной)

Если интеграл имеет сложную структуру, иногда помогает замена переменной.

Пример: Найти интеграл ∫ (2x+1)⁴ dx

Решение:

1. Делаем замену: u = 2x + 1, тогда du = 2 dx ⇒ dx = du/2
2. Подставляем в интеграл:

   ∫ u⁴ · (du/2) = (1/2)∫ u⁴ du

3. Интегрируем:

   (1/2) · (u⁵/5) + C = u⁵/10 + C

4. Возвращаемся к исходной переменной:

   (2x+1)⁵/10 + C

---

Практические задачи с решениями 🎯

Задача 1

Найдите интеграл: ∫ (4x³ - 3x² + 2x - 1) dx

Решение:

∫ (4x³ - 3x² + 2x - 1) dx = 
= 4∫ x³ dx - 3∫ x² dx + 2∫ x dx - ∫ dx =
= 4·(x⁴/4) - 3·(x³/3) + 2·(x²/2) - x + C =
= x⁴ - x³ + x² - x + C

Задача 2

Найдите интеграл: ∫ (5eˣ + 3/x) dx

Решение:

∫ (5eˣ + 3/x) dx = 
= 5∫ eˣ dx + 3∫ (1/x) dx =
= 5eˣ + 3ln|x| + C