Непрерывность функции в точке и на промежутке

Что такое непрерывность функции? 🎯

Представьте, что вы рисуете график функции без отрыва карандаша от бумаги ✏️. Если вам это удалось — функция непрерывна! На практике это означает, что в каждой точке графика нет «разрывов», «прыжков» или «дырок».

Давайте разберем это понятие подробнее, начав с самой важной идеи — непрерывности в точке.

---

Непрерывность функции в точке

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = a, если выполняются три условия:

1. Функция определена в этой точке (то есть существует значение f(a)).
2. Существует предел функции в этой точке.
3. Этот предел равен значению функции в точке: lim f(x) = f(a), когда x → a.

Проще говоря, если мы приближаемся к точке x = a и по пути смотрим на значения функции, то они все ближе и ближе подходят к числу f(a). Когда мы finalmente добираемся до точки a, функция принимает ровно то значение, к которому мы приближались.

💡 Совет: Запомните эту «магическую тройку» условий. Если нарушено хотя бы одно — функция в точке не является непрерывной.

Давайте рассмотрим пример, где эти условия нарушаются.

Пример с разрывом

Рассмотрим функцию:

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

В точке x = 1 знаменатель обращается в ноль, и функция не определена. Мы не можем вычислить f(1). Нарушено первое условие непрерывности. На графике это будет выглядеть как «дырка» в точке (1, 2), хотя сам предел существует и равен 2:

lim (x² - 1)/(x - 1) = lim (x + 1) = 2, когда x → 1

График этой функции — прямая y = x + 1, но с «проколотой» точкой при x = 1.

---

Непрерывность на промежутке ➕

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала (например, (a, b) или [a, b]), то говорят, что она непрерывна на этом промежутке.

Большинство функций, которые вы знаете, непрерывны на всей своей области определения:

• Многочлены: f(x) = x² + 3x - 5
• Показательные функции: f(x) = 2ˣ
• Тригонометрические функции: f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)

📘 Заметка: Функция может быть непрерывной на одном промежутке и иметь разрывы на другом. Все зависит от ее области определения.

---

Типы разрывов 🔺

Давайте систематизируем, как именно могут нарушаться условия непрерывности.

Тип разрыва	Описание	Пример	Нарушено условие
Устранимый	Предел существует, но не равен значению функции или функция не определена	f(x) = (x² - 1)/(x - 1) в точке x=1	1 или 3
Неустранимый (скачок)	Существуют левый и правый пределы, но они не равны друг другу	Функция sign(x) (знака) в точке x=0	2 и 3
Неустранимый (полюс)	Предел является бесконечным	f(x) = 1/x в точке x=0	2

---

Решаем задачи вместе! 🧮

Давайте применим теорию на практике.

Задача 1

Условие: Исследуйте на непрерывность функцию f(x) = |x| в точке x = 0.

Решение:

1. Функция определена в точке x = 0: f(0) = |0| = 0. ✅
2. Найдем предел слева: lim |x| = lim (-x) = 0, когда x → 0-.
3. Найдем предел справа: lim |x| = lim (x) = 0, когда x → 0+.
4. Левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны: lim f(x) = 0, когда x → 0. ✅
5. Сравним предел и значение функции: lim f(x) = 0 = f(0). ✅

Ответ: Все три условия выполнены. Функция f(x) = |x| непрерывна в точке x = 0.

Задача 2

Условие: Исследуйте на непрерывность функцию в точке x = 2:

f(x) = { x²,    если x < 2
       { 2x+1, если x ≥ 2

Решение:

1. Функция определена в точке x = 2: так как x ≥ 2, используем вторую формулу: f(2) = 2*2 + 1 = 5. ✅
2. Найдем левосторонний предел (приближаемся к 2 слева, используем первую формулу): lim x² = 4, когда x → 2-.
3. Найдем правосторонний предел (приближаемся к 2 справа, используем вторую формулу): lim (2x+1) = 5, когда x → 2+.
4. Левосторонний (4) и правосторонний (5) пределы не равны друг другу. Следовательно, общего предела в точке x=2 не существует. ❌