Независимые испытания с повторением

Что такое независимые испытания? 🤔

Представь, что ты подбрасываешь монетку несколько раз подряд. Результат каждого нового подбрасывания никак не зависит от предыдущего — орел или решка выпадают с одинаковой вероятностью. Это и есть независимые испытания — когда результат одного опыта не влияет на результат другого.

Такие ситуации встречаются очень часто:

Бросок игрального кубика 🎲
Вытягивание карты из колоды (с возвращением) ♠️
Стрельба по мишени (если стрелок не устает) 🎯

💡 Запомни: ключевое слово здесь — «независимость». Вероятность каждого события остается постоянной и не меняется от испытания к испытанию.

Схема Бернулли — наш главный инструмент 📘

Когда мы проводим серию одинаковых независимых испытаний, мы работаем по схеме Бернулли. Эта схема идеально подходит для ситуаций, где возможно только два исхода:

Успех — то, что нас интересует (например, выпадение орла)
Неудача — все остальные исходы (выпадение решки)

Обозначим:

p — вероятность успеха в одном испытании
q = 1 - p — вероятность неудачи
n — количество испытаний
k — количество успехов, которое нас интересует

Формула Бернулли — считаем вероятности точно 🧮

Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно k раз, вычисляется по формуле:

P_n(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k)

Давай разберем эту формулу по частям:

Элемент	Что означает	Пример для монетки
`C_n^k`	Число сочетаний (сколькими способами можно получить k успехов)	`C_3^2 = 3`
`p^k`	Вероятность получить k успехов	`(1/2)^2 = 1/4`
`q^(n-k)`	Вероятность получить (n-k) неудач	`(1/2)^1 = 1/2`

Формула перемножает эти три компонента, потому что мы считаем вероятность комбинации, где успехи и неудачи происходят в определенном порядке.

🎯 Совет: Чтобы лучше понять формулу, представь, что ты составляешь «слово» из букв У (успех) и Н (неудача). Сначала считаешь, сколько таких слов существует, затем умножаешь на вероятность каждого конкретного слова.

Решаем задачи вместе! ✨

Задача 1: Монетка

Подбросим монетку 5 раз. Какова вероятность, что орел выпадет ровно 3 раза?

Решение:

Определяем параметры:
- n = 5 (количество бросков)
- k = 3 (сколько орлов нам нужно)
- p = 1/2 (вероятность орла)
- q = 1 - 1/2 = 1/2 (вероятность решки)
Считаем число сочетаний:
```
C_5^3 = 5! / (3! * 2!) = 10
```

Подставляем в формулу:

P_5(3) = 10 * (1/2)^3 * (1/2)^2 = 10 * 1/8 * 1/4 = 10/32 = 5/16

Ответ: 5/16

Задача 2: Игральный кубик

Бросаем кубик 4 раза. Найти вероятность, что шестерка выпадет ровно 2 раза.

Решение:

Параметры:
- n = 4
- k = 2
- p = 1/6 (вероятность выпадения шестерки)
- q = 5/6 (вероятность любого другого исхода)
Число сочетаний:
```
C_4^2 = 4! / (2! * 2!) = 6
```

Расчет вероятности:

P_4(2) = 6 * (1/6)^2 * (5/6)^2 = 6 * 1/36 * 25/36 = 150/1296 = 25/216

Ответ: 25/216

💪 Практический совет: Всегда четко определяй, что считать «успехом» в задаче. Иногда это не очевидно!

Важные особенности и тонкости 🔍

При работе с независимыми испытаниями важно помнить:

Постоянство вероятностей — условие независимости нарушается, если вероятность меняется от испытания к испытанию
Комбинаторный подход — мы учитываем все возможные способы расположения успехов и неудач
Сумма вероятностей — сумма вероятностей всех возможных исходов (от 0 до n успехов) всегда равна 1

Для проверки последнего утверждения вспомним формулу бинома Ньютона:

(p + q)^n = 1

А ведь наша формула Бернулли — это не что иное, как разложение этого бинома!

Практикуемся — задача посложнее 🚀

Задача 3: Стрелок по мишени

Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,8. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятность, что он попадет ровно 4 раза.