Обратная функция: определение и построение

Что такое обратная функция?

Представь, что у тебя есть машина, которая превращает яблоки в яблочное пюре. Обратная функция — это такая "волшебная" машина, которая делает обратное: из пюре снова делает яблоко! 🍎➡️🥄➡️🍎

В математике это работает похожим образом. Если функция f(x) выполняет какие-то действия с числом x, то обратная функция f⁻¹(x) эти действия "отменяет".

💡 Важно: обратная функция существует только у тех функций, которые являются взаимно однозначными, то есть каждому y соответствует ровно один x.

Давай разберем на простом примере. Рассмотрим функцию:

f(x) = x + 3

Она прибавляет к любому числу 3. Обратная функция будет вычитать 3:

f⁻¹(x) = x - 3

Проверим это. Если взять число 5 и применить функцию f, получим:

f(5) = 5 + 3 = 8

Теперь применим обратную функцию к результату:

f⁻¹(8) = 8 - 3 = 5

Вернулись к исходному числу! 🎯

Как найти обратную функцию: пошаговый алгоритм

Найти обратную функцию проще, чем кажется! Следуй этим шагам:

Замени f(x) на y
Поменяй местами x и y
Реши уравнение относительно y
Замени y на f⁻¹(x)

Разберем на примере функции f(x) = 2x - 1:

Шаг 1: y = 2x - 1

Шаг 2: Меняем местами x и y: x = 2y - 1

Шаг 3: Решаем относительно y:

x + 1 = 2y
y = (x + 1)/2

Шаг 4: Записываем обратную функцию: f⁻¹(x) = (x + 1)/2

📘 Проверка: если взять f(3) = 2×3 - 1 = 5, то f⁻¹(5) = (5 + 1)/2 = 3. Все верно!

Графическое представление обратных функций

Графики функции и обратной к ней симметричны относительно прямой y = x. Это как отражение в зеркале! 🔁

Рассмотрим пример с функцией f(x) = x². Но здесь есть нюанс:

Функция	Обратная функция	Особенности
`f(x) = x²`	`f⁻¹(x) = √x`	Только для x ≥ 0
`f(x) = x³`	`f⁻¹(x) = ∛x`	Для всех x

Почему для f(x) = x² обратная функция определена только для неотрицательных x? Потому что исходная функция не является взаимно однозначной на всей числовой прямой — и 2, и -2 дают одинаковый результат 4.

Практические задачи

Задача 1: Найди обратную функцию

Дана функция: f(x) = 4x - 7

Найди обратную функцию f⁻¹(x).

💡 Решение:

Шаг 1: y = 4x - 7

Шаг 2: x = 4y - 7

Шаг 3: x + 7 = 4y

Шаг 4: y = (x + 7)/4

Ответ: f⁻¹(x) = (x + 7)/4

Задача 2: Проверка обратной функции

Для функции f(x) = (x + 1)/3 найди обратную и проверь, что f(f⁻¹(5)) = 5.

💡 Решение:

Находим обратную функцию:

Шаг 1: y = (x + 1)/3

Шаг 2: x = (y + 1)/3

Шаг 3: 3x = y + 1

Шаг 4: y = 3x - 1

Проверка: f⁻¹(5) = 3×5 - 1 = 14

f(14) = (14 + 1)/3 = 15/3 = 5

Все верно! ✅

Важные свойства обратных функций

📏 Область определения функции становится областью значений обратной функции
📏 Область значений функции становится областью определения обратной функции
🔄 Композиция функции и обратной к ней дает тождественную функцию: f(f⁻¹(x)) = x
📈 Графики симметричны относительно прямой y = x

✨ Запомни: не у каждой функции есть обратная! Только у тех, которые можно "обратить" без потери информации.

Закрепление материала

Давай попрактикуемся еще на одной задаче:

Задача 3: Полное решение

Дана функция: f(x) = (2x - 5)/3

Найди обратную функцию, укажи её область определения и построй графики обеих функций.