Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg

Что такое обратные тригонометрические функции? 🤔

Представь, что ты знаешь значение синуса некоторого угла, например, sin(x) = 0.5. Как найти сам угол? Именно для этого и существуют обратные тригонометрические функции! Они «возвращают» угол по известному значению функции.

Важно помнить: обычные тригонометрические функции (sin, cos, tg, ctg) по углу дают число. Обратные функции (arcsin, arccos, arctg, arcctg) по числу дают угол.

🔍 Приставка arc (от латинского «arcus» — дуга) означает «угол» или «дуга». То есть arcsin(0.5) можно прочитать как «угол, синус которого равен 0.5».

---

Арксинус (arcsin)

Арксинус числа a — это такой угол x из промежутка от -π/2 до π/2 (или от -90° до 90°), синус которого равен a.

Записывается это так: x = arcsin(a).

Область определения (какие значения может принимать a): от -1 до 1.

Область значений (какие углы мы получаем): от -π/2 до π/2 радиан.

Давай рассмотрим на примере:

sin(π/6) = 1/2  ⇒  arcsin(1/2) = π/6

sin(-π/4) = -√2/2  ⇒  arcsin(-√2/2) = -π/4

💡 Запомни: арксинус отрицательного числа — это отрицательный угол. Это логично, ведь в четвертой четверти (где углы отрицательные) синус как раз отрицательный.

---

Арккосинус (arccos)

Арккосинус числа a — это такой угол x из промежутка от 0 до π (или от 0° до 180°), косинус которого равен a.

Записывается это так: x = arccos(a).

Область определения: от -1 до 1.
Область значений: от 0 до π радиан.

Примеры:

cos(π/3) = 1/2  ⇒  arccos(1/2) = π/3

cos(2π/3) = -1/2  ⇒  arccos(-1/2) = 2π/3

📘 Обрати внимание: в отличие от арксинуса, арккосинус всегда дает неотрицательный угол (из верхней полуплоскости). Даже для отрицательных чисел!

---

Арктангенс (arctg)

Арктангенс числа a — это такой угол x из промежутка от -π/2 до π/2 (от -90° до 90°), тангенс которого равен a.

Записывается это так: x = arctg(a).

Область определения: любое действительное число.
Область значений: от -π/2 до π/2 радиан.

Примеры:

tg(π/4) = 1  ⇒  arctg(1) = π/4

tg(-π/6) = -√3/3  ⇒  arctg(-√3/3) = -π/6

🎯 Арктангенс очень полезен, например, при решении уравнений или в физике для нахождения углов.

---

Арккотангенс (arcctg)

Арккотангенс числа a — это такой угол x из промежутка от 0 до π (от 0° до 180°), котангенс которого равен a.

Записывается это так: x = arcctg(a).

Область определения: любое действительное число.
Область значений: от 0 до π радиан.

Примеры:

ctg(π/4) = 1  ⇒  arcctg(1) = π/4

ctg(π/3) = √3/3  ⇒  arcctg(√3/3) = π/3

🔺 Запомни главное отличие: arctg выдает углы от -90° до 90°, а arcctg — всегда от 0° до 180°.

---

Сводная таблица свойств 📋

Функция	Обозначение	Угол x = ?	Область определения	Область значений
Арксинус	arcsin(a)	sin(x) = a	a ∈ [-1; 1]	x ∈ [-π/2; π/2]
Арккосинус	arccos(a)	cos(x) = a	a ∈ [-1; 1]	x ∈ [0; π]
Арктангенс	arctg(a)	tg(x) = a	a ∈ R	x ∈ (-π/2; π/2)
Арккотангенс	arcctg(a)	ctg(x) = a	a ∈ R	x ∈ (0; π)