Односторонние пределы функции

Что такое односторонние пределы и зачем они нужны?

Представь, что ты подходишь к двери с двух разных сторон. Слева и справа вид может отличаться! 🚪 Точно так же функция может вести себя по-разному при приближении к точке слева и справа.

Односторонние пределы — это значения, к которым стремится функция, когда мы приближаемся к конкретной точке только с одной стороны.

🎯 Важно: Обычный предел существует только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны между собой.

Давай введём точные определения:

• Предел слева (обозначается limx→a⁻ f(x)): значение, к которому стремится функция, когда x приближается к a с меньших значений (слева)
• Предел справа (обозначается limx→a⁺ f(x)): значение, к которому стремится функция, когда x приближается к a с больших значений (справа)

---

Как находить односторонние пределы 📐

Процесс похож на нахождение обычных пределов, но с чётким указанием направления приближения.

Рассмотрим пример с кусочной функцией:

f(x) = { x + 1, если x < 2
       { 3x - 1, если x ≥ 2

Найдём пределы при x → 2:

1. Предел слева (x → 2⁻): используем первую формулу, так как x < 2

   limx→2⁻ f(x) = limx→2⁻ (x + 1) = 2 + 1 = 3

2. Предел справа (x → 2⁺): используем вторую формулу, так как x ≥ 2

   limx→2⁺ f(x) = limx→2⁺ (3x - 1) = 3×2 - 1 = 5

Поскольку 3 ≠ 5, обычный предел при x → 2 не существует.

💡 Совет: Всегда смотри на определение функции вокруг точки, к которой приближаешься. От этого зависит, какую формулу использовать!

---

Графическая интерпретация 📈

Давай посмотрим на графике, как это выглядит:

Случай	Как выглядит на графике	Что означает
Пределы равны	График подходит к точке с обеих сторон	Обычный предел существует
Пределы не равны	"Разрыв" или "скачок" в точке	Обычный предел не существует
Одного предела нет	Бесконечное поведение с одной стороны	Обычный предел не существует

В нашем примере с функцией f(x) при x → 2 график будет иметь "скачок": слева он приближается к y = 3, а справа — к y = 5.

---

Практические задачи 🧮

Задача 1: Найти односторонние пределы

Дана функция: g(x) = { x², если x ≤ 1; 2x - 1, если x > 1 }

Найти: limx→1⁻ g(x) и limx→1⁺ g(x)

Решение:

1. Предел слева (x → 1⁻): используем x², так как x ≤ 1

   limx→1⁻ g(x) = limx→1⁻ x² = 1² = 1

2. Предел справа (x → 1⁺): используем 2x - 1, так как x > 1

   limx→1⁺ g(x) = limx→1⁺ (2x - 1) = 2×1 - 1 = 1

Оба предела равны 1, значит limx→1 g(x) = 1 ✅

Задача 2: Анализ функции с разрывом

Дана функция: h(x) = { 1/x, если x < 0; √x, если x ≥ 0 }

Существует ли limx→0 h(x)?

Решение:

1. Предел слева (x → 0⁻): используем 1/x

   При x → 0⁻: 1/x → -∞

   Предел слева не существует (бесконечность)

2. Предел справа (x → 0⁺): используем √x

   limx→0⁺ √x = 0

Так как левый предел не существует, то и обычный предел при x → 0 не существует ❌

---

Типичные ошибки и как их избежать ⚠️

• Ошибка: Использовать не ту формулу для нужного направления
• Решение: Всегда проверяй, с какой стороны приближаешься к точке

• Ошибка: Путать обозначения lim⁻ и lim⁺
• Решение: Запомни: "минус" — слева, "плюс" — справа

• Ошибка: Считать, что если функция определена в точке, то предел равен значению функции
• Решение: Предел определяется поведением вокруг точки, а не в самой точке!

📘 Запомни: Значение функции в точке и предел при стремлении к этой точке — это разные понятия!