Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

📐 Что такое тригонометрические функции?

Добро пожаловать в увлекательный мир тригонометрии! Сегодня мы разберем четыре ключевые функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Эти понятия помогут вам решать задачи с треугольниками и углами, а в будущем — понимать физические законы и даже программировать графику! 🚀

💡 Запомните: все тригонометрические функции определяются через прямоугольный треугольник или единичную окружность. Мы начнем с треугольника — это проще!

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом α. Его стороны имеют специальные названия:

• Гипотенуза — сторона против прямого угла (самая длинная)
• Противолежащий катет — находится напротив угла α
• Прилежащий катет — тот, который образует угол α

Теперь дадим определения:

📘 Синус (sin)

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin(α) = Противолежащий катет / Гипотенуза

📘 Косинус (cos)

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos(α) = Прилежащий катет / Гипотенуза

📘 Тангенс (tg)

Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg(α) = Противолежащий катет / Прилежащий катет

📘 Котангенс (ctg)

Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctg(α) = Прилежащий катет / Противолежащий катет

---

🔍 Пример расчета для угла 30°

Возьмем треугольник с углом 30°. В таком треугольнике гипотенуза в два раза больше противолежащего катета! Это важно знать.

Пусть:

• Противолежащий катет = 1
• Гипотенуза = 2
• Прилежащий катет = √3 (по теореме Пифагора)

Тогда:

sin(30°) = 1/2 = 0,5
cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866
tg(30°) = 1/√3 ≈ 0,577
ctg(30°) = √3/1 ≈ 1,732

🎯 Совет: запомните значения для 30°, 45° и 60° — они часто встречаются в задачах!

---

📏 Единичная окружность

Теперь рассмотрим более универсальный способ определения — через единичную окружность. Это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Любой точке на окружности соответствуют координаты (cos α, sin α), где α — угол между положительной осью OX и радиус-вектором точки.

Таким образом:

• Cos α — это проекция на ось OX
• Sin α — это проекция на ось OY

Тангенс и котангенс также можно выразить через синус и косинус:

tg(α) = sin(α) / cos(α)
ctg(α) = cos(α) / sin(α)

⚠️ Важно: тангенс не определен, когда cos(α) = 0 (углы 90°, 270° и т.д.), а котангенс — когда sin(α) = 0 (углы 0°, 180° и т.д.)

---

📊 Таблица значений для основных углов

Угол	sin	cos	tg	ctg
0°	0	1	0	—
30°	1/2	√3/2	1/√3	√3
45°	√2/2	√2/2	1	1
60°	√3/2	1/2	√3	1/√3
90°	1	0	—	0

---

🧮 Практические задачи

Задача 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из острых углов равен 30°. Найдите катеты и значения всех тригонометрических функций для этого угла.

Решение:

1. Противолежащий катет для угла 30°: a = sin(30°) × 10 = 0,5 × 10 = 5 см
2. Прилежащий катет: b = cos(30°) × 10 = (√3/2) × 10 ≈ 8,66 см
3. Проверим по теореме Пифагора: 5² + 8,66² ≈ 25 + 75 = 100 = 10² ✅
4. Значения функций:
   • sin(30°) = 5/10 = 0,5
   • cos(30°) = 8,66/10 ≈ 0,866
   • tg(30°) = 5/8,66 ≈ 0,577
   • ctg(30°) = 8,66/5 ≈ 1,732

Задача 2

Найдите значение выражения: tg(45°) × cos(30°) + sin(60°) × ctg(45°)

Решение:

1. Подставляем значения из таблицы:
   • tg(45°) = 1
   • cos(30°) = √3/2
   • sin(60°) = √3/2
   • ctg(45°) = 1
2. Вычисляем: 1 × (√3/2) + (√3/2) × 1 = √3/2 + √3/2 = √3
3. Ответ: √3