Определенный интеграл: понятие и вычисление

Что такое определенный интеграл? 🤔

Представь, что тебе нужно найти площадь фигуры под кривой на графике. Например, площадь под параболой или синусоидой. Именно для этого и нужен определенный интеграл! Это мощный инструмент, который позволяет вычислять площади сложных фигур.

📘 Историческая справка: Идея интеграла разработана одновременно Ньютоном и Лейбницем в XVII веке. Символ интеграла ∫ — это стилизованная буква S (от латинского "summa" — сумма).

Определенный интеграл записывается так:

∫[от a до b] f(x) dx

Где:
• f(x) — подынтегральная функция (та самая кривая)
• a и b — пределы интегрирования (левая и правая границы)
• dx — указывает, что интегрирование идет по переменной x

---

Геометрический смысл 📐

Давай разберемся на простом примере. Представь график функции f(x) = x на отрезке от 0 до 2:

∫[от 0 до 2] x dx

Это значит, что мы ищем площадь треугольника под прямой y = x от точки x=0 до x=2.

🎯 Запомни: Если функция принимает отрицательные значения, интеграл будет отрицательным — это площадь под осью OX!

А теперь главный вопрос — как эту площадь вычислить?

---

Формула Ньютона-Лейбница ➕➖

Это основная формула для вычисления определенных интегралов! Она связывает интеграл с первообразной.

∫[от a до b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Где F(x) — первообразная функции f(x), то есть такая функция, что F'(x) = f(x).

Разберем на примере:

∫[от 1 до 3] 2x dx

Шаг 1: Находим первообразную
F(x) = x² (потому что производная от x² равна 2x)

Шаг 2: Подставляем пределы
F(3) - F(1) = 3² - 1² = 9 - 1 = 8

Ответ: 8

💡 Совет: Разность F(b) - F(a) часто записывают как F(x)|[a до b]

---

Свойства определенного интеграла 🔧

Эти свойства помогут тебе упрощать вычисления:

Свойство	Формула	Пример
Интеграл суммы	∫(f+g)dx = ∫fdx + ∫gdx	∫(x+1)dx = ∫xdx + ∫1dx
Постоянный множитель	∫k*fdx = k*∫fdx	∫3xdx = 3∫xdx
Пределы интегрирования	∫[a→b]fdx = -∫[b→a]fdx	∫[2→1]xdx = -∫[1→2]xdx
Разбиение отрезка	∫[a→c]fdx = ∫[a→b]fdx + ∫[b→c]fdx	∫[0→2] = ∫[0→1] + ∫[1→2]

---

Пошаговый алгоритм вычисления 📋

Чтобы вычислить определенный интеграл, следуй этим шагам:

1. Найди первообразную функцию F(x)
2. Подставь верхний предел: вычисли F(b)
3. Подставь нижний предел: вычисли F(a)
4. Вычти: F(b) - F(a)
5. Запиши ответ

---

Практические задачи 🧮

Задача 1: Простой интеграл

Вычисли: ∫[от 0 до 4] 3 dx

Решение:

1. Первообразная: F(x) = 3x
2. F(4) = 3*4 = 12
3. F(0) = 3*0 = 0
4. 12 - 0 = 12

Ответ: 12

Задача 2: Интеграл степенной функции

Вычисли: ∫[от 1 до 3] x² dx

Решение:

1. Первообразная: F(x) = x³/3
2. F(3) = 3³/3 = 27/3 = 9
3. F(1) = 1³/3 = 1/3
4. 9 - 1/3 = 26/3

Ответ: 26/3

Задача 3: Интеграл с отрицательными пределами

Вычисли: ∫[от -2 до 2] x³ dx

Решение:

1. Первообразная: F(x) = x⁴/4
2. F(2) = 2⁴/4 = 16/4 = 4
3. F(-2) = (-2)⁴/4 = 16/4 = 4
4. 4 - 4 = 0

Ответ: 0

✨ Интересный факт: Для нечетных функций на симметричном промежутке интеграл всегда равен нулю!

---

Проверь себя 🎯

Попробуй решить эти интегралы самостоятельно:

1. ∫[от 0 до 5] 2x dx
2. ∫[от 1 до 4] (x + 1) dx
3. ∫[от 0 до π] sin(x) dx (подсказка: первообразная sin(x) = -cos(x))