Первообразная: определение и основное свойство

📘 Что такое первообразная?

Представьте, что у нас есть функция f(x). Первообразная — это такая функция F(x), производная которой равна исходной функции. Другими словами:

Если F'(x) = f(x), то F(x) называется первообразной для f(x).

Давайте разберем на простом примере. Возьмем функцию f(x) = 2x. Какая функция при дифференцировании даст 2x? Конечно, F(x) = x², ведь производная от x² равна 2x.

Но есть нюанс! 🧐 Заметили, что F(x) = x² + 5 тоже подходит? Ведь производная константы (числа 5) равна нулю. Значит, первообразных у одной функции бесконечно много!

---

🔍 Основное свойство первообразной

Все первообразные данной функции отличаются только на постоянное слагаемое. Это и есть основное свойство первообразной!

Если F(x) — первообразная для f(x), то любая другая первообразная имеет вид F(x) + C, где C — некоторое постоянное число.

Почему так? Потому что производная константы всегда равна нулю. Поэтому прибавление C не меняет производную:

(F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)

Это свойство очень важно. Оно означает, что для нахождения всех первообразных достаточно найти одну и добавить + C.

Рассмотрим пример:

• Функция: f(x) = 3x²
• Одна из первообразных: F(x) = x³ (проверяем: (x³)' = 3x²)
• Все первообразные: F(x) = x³ + C, где C — любое число

---

📏 Правила нахождения первообразных

Для основных функций есть стандартные правила. Они во многом похожи на правила дифференцирования, но работают «в обратную сторону».

Функция f(x)	Первообразная F(x)
0	C (любая константа)
1	x + C
xⁿ (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
eˣ	eˣ + C

Запомните важное правило: первообразная суммы функций равна сумме первообразных:

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

А постоянный множитель можно выносить за знак первообразной:

∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx

---

🎯 Решаем задачи шаг за шагом

Задача 1

Найдите все первообразные функции f(x) = 4x³.

Решение:

1. Вспоминаем правило для степенной функции: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
2. Применяем его: ∫ 4x³ dx = 4·∫ x³ dx = 4·(x⁴/4) + C = x⁴ + C
3. Проверяем: производная от x⁴ + C равна 4x³ — верно!

Ответ: F(x) = x⁴ + C

Задача 2

Найдите первообразную функции f(x) = 2x + cos(x), проходящую через точку (0; 3).

Решение:

1. Находим общий вид первообразной:

   ∫ (2x + cos(x)) dx = ∫ 2x dx + ∫ cos(x) dx = x² + sin(x) + C

2. Теперь используем условие, что график проходит через точку (0; 3). Подставляем x = 0, F(0) = 3:

   0² + sin(0) + C = 3 → 0 + 0 + C = 3 → C = 3

3. Подставляем найденное C в общее выражение

Ответ: F(x) = x² + sin(x) + 3

Задача 3 (посложнее!)

Найдите первообразную функции f(x) = (x + 1)(x - 2).

Решение:

1. Сначала упростим выражение:

   (x + 1)(x - 2) = x² - 2x + x - 2 = x² - x - 2

2. Теперь находим первообразную каждого слагаемого:

   ∫ (x² - x - 2) dx = ∫ x² dx - ∫ x dx - ∫ 2 dx

3. Вычисляем каждую первообразную:

   = (x³/3) - (x²/2) - 2x + C

4. Проверяем дифференцированием — должна получиться исходная функция

Ответ: F(x) = x³/3 - x²/2 - 2x + C

---

💡 Важные заметки

Не забывайте всегда добавлять + C при нахождении первообразной! Это особенно важно в задачах с физическим смыслом, где константа может означать начальное положение, начальную скорость и другие параметры.

Первообразная — это основа интегрального исчисления. Умение ее находить пригодится для вычисления площадей, объемов и решения многих физических задач.

Потренируйтесь находить первообразные для различных функций. Начните с простых степенных функций, затем переходите к тригонометрическим и показательным. Помните, что практика — ключ к успеху в математике! ✨

Если возникают трудности, всегда можно проверить себя дифференцированием: нашли первообразную — возьмите от нее производную. Должна получиться исходная функция!