Понятие предела функции на бесконечности

Что такое предел функции на бесконечности? 🎯

Представь, что ты наблюдаешь за машиной, которая удаляется от тебя по прямой дороге. Сначала она хорошо видна, но чем дальше едет, тем меньше становится, пока совсем не превратится в точку на горизонте. В математике мы говорим, что машина «стремится к бесконечности», а её видимый размер «стремится к нулю». Именно эту идею мы и будем изучать!

Предел функции на бесконечности показывает, к какому значению приближается функция, когда её аргумент (обычно x) становится очень большим (стремится к плюс бесконечности +∞) или очень маленьким (стремится к минус бесконечности -∞).

💡 Запомни: бесконечность — это не число, а понятие, обозначающее неограниченное увеличение или уменьшение.

Математическое определение 📘

Говорят, что предел функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, равен числу A, если значения f(x) становятся как угодно близкими к A, когда x становится достаточно большим.

Это записывается так:

lim f(x) = A
x→∞

Читается: «предел функции f(x) при икс, стремящемся к бесконечности, равен A».

---

Первый пример: предел постоянной функции ➕

Рассмотрим самую простую функцию — постоянную.

Задача: Найти предел функции f(x) = 5 при x → ∞.

Решение:

1. Функция всегда равна 5, независимо от того, чему равен x.
2. Если x становится огромным (например, 100, 1000, 1000000), функция всё равно равна 5.
3. Следовательно, она не приближается к какому-то другому числу, а всегда остается равной 5.

Ответ:

lim 5 = 5
x→∞

🎯 Вывод: предел постоянной функции равен самой этой постоянной.

Второй пример: предел функции 1/x 🔽

Это классический пример, который помогает понять суть предела.

Задача: Исследовать поведение функции f(x) = 1/x при x → ∞.

Решение:

1. Давай подставлять всё большие значения x и смотреть, что происходит с f(x):

x	f(x) = 1/x
1	1
10	0.1
100	0.01
1000	0.001
10000	0.0001

2. Мы видим, что по мере роста x значения функции становятся всё меньше и меньше, приближаясь к нулю.
3. Мы можем сделать f(x) сколь угодно близким к нулю, выбрав достаточно большое x.

Ответ:

lim (1/x) = 0
x→∞

---

Третий пример: предел рациональной функции 🧮

Рациональная функция — это дробь, в числителе и знаменателе которой многочлены.

Задача: Найти предел функции f(x) = (2x² + 3) / (x² - 1) при x → ∞.

Решение:

1. Если мы попробуем просто подставить бесконечность, получится неопределенность ∞ / ∞. Это нам ничего не даёт.
2. Есть хитрый приём: разделим числитель и знаменатель на x в наивысшей степени. В нашем случае это x².

f(x) = (2x²/x² + 3/x²) / (x²/x² - 1/x²) = (2 + 3/x²) / (1 - 1/x²)

3. Теперь посмотрим на предел каждого слагаемого. Мы уже знаем, что lim (3/x²) = 0 и lim (1/x²) = 0.
4. При x → ∞ наши дроби 3/x² и 1/x² «исчезают» (стремятся к нулю).
5. Остается: (2 + 0) / (1 - 0) = 2 / 1 = 2.

Ответ:

lim ( (2x² + 3) / (x² - 1) ) = 2
x→∞

💡 Совет: когда находишь предел рациональной функции на бесконечности, всегда дели числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Четвертый пример: предел линейной функции 📈

Что если функция не приближается к какому-то конкретному числу?

Задача: Исследовать поведение функции f(x) = 2x + 1 при x → ∞.

Решение:

1. Давай снова подставлять большие значения x:

• При x = 10, f(10) = 21
• При x = 100, f(100) = 201
• При x = 1000, f(1000) = 2001

2. Мы видим, что функция не приближается к какому-то конечному числу. Она становится всё больше и больше, то есть стремится к бесконечности.

Ответ:

lim (2x + 1) = ∞
x→∞

⚠️ Важно: в этом случае мы говорим, что функция имеет бесконечный предел. Она не приближается к какому-то конкретному числу, а неограниченно возрастает.

---

Предел на минус бесконечности ➖

Всё то же самое работает, когда x не возрастает, а неограниченно убывает.