Правила дифференцирования: сумма, произведение, частное

Введение в правила дифференцирования

Добро пожаловать на урок! Сегодня мы разберем три важнейших правила, которые помогут вам находить производные сложных функций. Если производная — это скорость изменения функции, то эти правила — наш инструмент для ее вычисления.

💡 Помните: производная суммы функций равна сумме их производных. Это самое простое правило!

Давайте начнем с самого intuitive правила.

Правило дифференцирования суммы

Если у нас есть сумма двух функций, например:

f(x) = u(x) + v(x)

Тогда производная этой суммы будет выглядеть так:

f'(x) = u'(x) + v'(x)

Проще говоря: производная суммы равна сумме производных! ✅

Давайте рассмотрим пример:

Задача 1: Найдите производную функции f(x) = x³ + 5x²

Решение:

1. Разбиваем функцию на две части: u(x) = x³ и v(x) = 5x²
2. Находим производные каждой части:
   • u'(x) = 3x²
   • v'(x) = 10x
3. Складываем результаты: f'(x) = 3x² + 10x

---

Правило дифференцирования произведения

Теперь перейдем к более интересному — произведению функций. 📦

Если f(x) = u(x) * v(x), то:

f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

Запомните эту формулу! Она очень важна.

🎯 Совет: Производная произведения = производная первой * вторая + первая * производная второй

Задача 2: Найдите производную f(x) = (x² + 1)(3x - 2)

Решение:

1. Определяем части: u(x) = x² + 1, v(x) = 3x - 2
2. Находим производные:
   • u'(x) = 2x
   • v'(x) = 3
3. Применяем формулу: f'(x) = (2x)(3x-2) + (x²+1)(3)
4. Упрощаем: f'(x) = 6x² - 4x + 3x² + 3 = 9x² - 4x + 3

---

Правило дифференцирования частного

Самое сложное, но очень важное правило — для частного (деления) функций. ➗

Если f(x) = u(x) / v(x), то:

f'(x) = [u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)] / [v(x)]²

Обратите внимание: знаменатель возводится в квадрат!

⚠️ Важно: v(x) ≠ 0, так как делить на ноль нельзя!

Задача 3: Найдите производную f(x) = (2x + 1) / (x - 3)

Решение:

1. Определяем: u(x) = 2x + 1, v(x) = x - 3
2. Находим производные:
   • u'(x) = 2
   • v'(x) = 1
3. Применяем формулу: f'(x) = [(2)(x-3) - (2x+1)(1)] / (x-3)²
4. Упрощаем числитель: [2x - 6 - 2x - 1] / (x-3)² = [-7] / (x-3)²

---

Сводная таблица правил

Операция	Функция	Производная
Сумма	u(x) + v(x)	u'(x) + v'(x)
Произведение	u(x) * v(x)	u'v + uv'
Частное	u(x) / v(x)	(u'v - uv') / v²

Практические задания для закрепления

Задание 1: Найдите производную f(x) = x⁴ + 3x³ - 2x + 7

Задание 2: Найдите производную f(x) = (x² - 4)(x³ + 2x)

Задание 3: Найдите производную f(x) = (5x + 2) / (x² + 1)

✨ Подсказка: Не забывайте проверять свои ответы! Математика любит точность.

Ответы к заданиям

Ответ 1:

f'(x) = 4x³ + 9x² - 2

Ответ 2:

f'(x) = (2x)(x³+2x) + (x²-4)(3x²+2) = 2x⁴+4x²+3x⁴+2x²-12x²-8 = 5x⁴ -6x² -8

Ответ 3:

f'(x) = [(5)(x²+1) - (5x+2)(2x)] / (x²+1)² = [5x²+5 -10x²-4x] / (x²+1)² = [-5x²-4x+5] / (x²+1)²

Заключение

Сегодня мы освоили три мощных инструмента дифференциального исчисления! 🎓 Эти правила — основа для решения более сложных задач. Практикуйтесь регулярно, и скоро вы будете применять эти правила автоматически.

Помните: математика — это не просто цифры и формулы, это язык, описывающий мир вокруг нас. Удачи в дальнейшем изучении! ✨