Правила нахождения первообразных

Что такое первообразная и зачем она нужна? 🤔

Представь, что у тебя есть функция, которая описывает скорость машины. Первообразная этой функции покажет пройденный путь! Это обратная операция к дифференцированию — если производная показывает мгновенную скорость изменения, то первообразная восстанавливает исходную функцию.

Формально: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется:

F'(x) = f(x)

Важно помнить, что первообразная определяется с точностью до постоянной! Если F(x) — первообразная, то и F(x) + C тоже будет первообразной, где C — любое число.

📘 Производная от первообразной дает исходную функцию — это основное свойство, на котором строится все дальнейшее!

---

Основные правила нахождения первообразных ✍️

Давай разберем ключевые правила, которые помогут тебе находить первообразные для различных функций.

1. Первообразная степени

Для функции f(x) = x^n, где n ≠ -1:

F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C

Проверим на примере:

f(x) = x² → F(x) = x³/3 + C
Проверка: F'(x) = 3x²/3 = x² = f(x) ✅

2. Первообразная постоянной величины

Для функции f(x) = k (где k — постоянная):

F(x) = k*x + C

Пример:

f(x) = 5 → F(x) = 5x + C
Проверка: F'(x) = 5 = f(x) ✅

3. Первообразная суммы функций

Первообразная суммы равна сумме первообразных:

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Пример:

f(x) = x² + 3x → F(x) = x³/3 + 3x²/2 + C

4. Первообразная функции с постоянным множителем

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx

Пример:

f(x) = 4x³ → F(x) = 4*(x⁴/4) + C = x⁴ + C

---

Таблица основных первообразных 📋

Функция f(x)	Первообразная F(x)
0	C
1	x + C
x^n (n ≠ -1)	x^(n+1)/(n+1) + C
1/x	ln|x| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

💡 Запомни: постоянная C всегда добавляется к первообразной! Это важно при решении задач с начальными условиями.

---

Пошаговое решение задач 🎯

Задача 1: Найти первообразную для f(x) = 2x³ - 4x + 5

Решение:

1. Разбиваем на слагаемые: 2x³, -4x, 5
2. Находим первообразные для каждого:
   • ∫2x³dx = 2*(x⁴/4) = x⁴/2
   • ∫(-4x)dx = -4*(x²/2) = -2x²
   • ∫5dx = 5x
3. Складываем результаты: F(x) = x⁴/2 - 2x² + 5x + C
4. Проверяем: F'(x) = 2x³ - 4x + 5 = f(x) ✅

Задача 2: Найти первообразную, проходящую через точку (1; 4) для f(x) = 3x²

Решение:

1. Находим общий вид первообразной: F(x) = x³ + C
2. Подставляем точку (1; 4): 4 = 1³ + C
3. Находим C: C = 4 - 1 = 3
4. Записываем ответ: F(x) = x³ + 3

---

Практические задания для закрепления 📝

Задание 1

Найди первообразные для функций:

• f(x) = 4x⁵ - 2x² + 7
• f(x) = 3/x + 4e^x
• f(x) = 2cos(x) - sin(x)

Задание 2

Найди первообразную для f(x) = (x + 1)(x - 2), которая проходит через точку (0; 3).

🔥 Совет: всегда проверяй себя дифференцированием! Это лучший способ убедиться в правильности решения.

---

Частые ошибки и как их избежать ⚠️

• Забывают добавить постоянную C — помни, что первообразных бесконечно много!
• Неправильно применяют правило степени — особенно для отрицательных и дробных показателей
• Путают первообразные тригонометрических функций — запомни таблицу!
• Не упрощают выражения — всегда приводи ответ к最简单 виду

🎉 Поздравляю! Теперь ты знаешь основные правила нахождения первообразных. Практикуйся регулярно, и soon эти правила станут твоей второй натурой!