Применение производной: исследование функций

Что такое исследование функции и зачем оно нужно? 🤔

Представьте, что вы планируете поход в горы. Чтобы не заблудиться и достичь вершины, вам нужна карта с отмеченными подъемами, спусками и ключевыми точками. Исследование функции с помощью производной — это и есть создание такой "карты" для графика функции! Мы точно определяем, где функция растет, где убывает, где достигает максимумов и минимумов.

🎯 Главная цель исследования — построить график функции, понимая все его особенности.

Алгоритм исследования функции 📘

Мы будем действовать по проверенному пламу. Вот основные шаги, которые нужно выполнить:

Найти область определения функции (ОДЗ).
Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно и не слишком сложно).
Найти производную функции f'(x).
Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
Определить промежутки возрастания и убывания.
Найти точки экстремума (max и min) и вычислить значения функции в этих точках.
Построить график, используя полученные данные.

Разбираем каждый шаг на примере ➕➖

Давайте исследуем функцию и построим ее график:

f(x) = x³ - 3x²

Шаг 1: Область определения

Наша функция — многочлен. Многочлены определены на всей числовой прямой. Записываем:

D(f) = R (или (-∞; +∞))

Шаг 2: Точки пересечения с осями

С осью OY: X = 0. Подставляем в функцию: f(0) = 0³ - 3*0² = 0. Точка (0; 0).
С осью OX: Y = 0. Решаем уравнение: x³ - 3x² = 0 -> x²(x - 3) = 0 -> x₁=0, x₂=3. Точки (0; 0) и (3; 0).

Шаг 3: Находим производную

Вспоминаем правила дифференцирования:

f'(x) = (x³ - 3x²)' = 3x² - 6x

Шаг 4: Ищем критические точки

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

3x² - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2

Производная существует при любом x, других критических точек нет.

Шаг 5: Промежутки возрастания и убывания

Отмечаем критические точки на числовой прямой и определяем знак производной на получившихся промежутках.

Возьмем пробные точки из каждого интервала и подставим их в производную:

Интервал (-∞; 0): берем x = -1. f'(-1) = 3*(-1)² - 6*(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 → функция возрастает ↗️
Интервал (0; 2): берем x = 1. f'(1) = 3*(1)² - 6*1 = 3 - 6 = -3 < 0 → функция убывает ↘️
Интервал (2; +∞): берем x = 3. f'(3) = 3*(3)² - 6*3 = 27 - 18 = 9 > 0 → функция возрастает ↗️

Шаг 6: Точки экстремума

Анализируем смену знака производной в критических точках:

Точка	Поведение функции	Вывод	Значение f(x)
`x = 0`	Возрастает → Убывает	Локальный максимум 🔺	`f(0) = 0`
`x = 2`	Убывает → Возрастает	Локальный минимум 🔻	`f(2) = 2³ - 3*2² = 8 - 12 = -4`

💡 Запоминайте: где производная меняет знак с "+" на "-" — максимум, с "-" на "+" — минимум.

Заключительный шаг: строим график 📈

Теперь у нас есть все ключевые точки:

Точки пересечения с осями: (0; 0), (3; 0)
Экстремумы: max (0; 0), min (2; -4)
Поведение: возрастает на (-∞; 0) и (2; +∞), убывает на (0; 2).

Соединяем эти точки плавной кривой с учетом поведения функции. График будет похож на "горку": идет вверх, опускается до минимума и снова уходит вверх.

Практическая задача для закрепления 🧮

Задача: Исследовать функцию и построить ее график:

f(x) = 2x² - x⁴

Пошаговое решение:

1. Область определения: D(f) = R, так как это многочлен.

2. Точки пересечения с осями:

С осью OY: x=0 -> f(0)=0. Точка (0;0).
С осью OX: y=0 -> 2x² - x⁴ = 0 -> x²(2 - x²) = 0 -> x=0, x=√2, x=-√2. Точки (0;0), (√2;0), (-√2;0).

3. Производная:

f'(x) = (2x² - x⁴)' = 4x - 4x³

4. Критические точки:

4x - 4x³ = 0
4x(1 - x²) = 0
x(1-x)(1+x) = 0
x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = -1