Производная показательной и логарифмической функции

📘 Производная показательной функции

Давайте начнём с самой главной функции в этой теме — экспоненты. Показательная функция имеет вид:

f(x) = aˣ

где a — положительное число, не равное 1.

Особый интерес представляет случай, когда основание равно числу e (примерно 2,71828). Это число называют числом Эйлера, и оно играет огромную роль в математике.

Производная функции eˣ обладает удивительным свойством:

🎯 Производная функции eˣ равна самой функции!

Записывается это так:

(eˣ)' = eˣ

Давайте докажем это, используя определение производной:

f'(x) = lim_h→0 (eˣ⁺ʰ - eˣ) / h = 
= lim_h→0 eˣ(eʰ - 1)/h = 
= eˣ * lim_h→0 (eʰ - 1)/h = 
= eˣ * 1 = eˣ

А что делать, если основание другое? Для функции aˣ производная равна:

(aˣ)' = aˣ * ln(a)

Обратите внимание — появляется множитель в виде натурального логарифма основания!

🧮 Примеры вычисления производных

Давайте потренируемся находить производные:

Пример 1: Найти производную функции f(x) = 2ˣ

f'(x) = 2ˣ * ln(2)

Пример 2: Найти производную функции f(x) = eˣ + 5ˣ

f'(x) = (eˣ)' + (5ˣ)' = eˣ + 5ˣ * ln(5)

Пример 3: Найти производную функции f(x) = 3 * 4ˣ

f'(x) = 3 * (4ˣ)' = 3 * 4ˣ * ln(4)

📘 Производная логарифмической функции

Теперь перейдём к логарифмическим функциям. Они имеют вид:

f(x) = logₐ(x)

Наиболее важный случай — натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

f(x) = ln(x)

Производная натурального логарифма равна:

(ln x)' = 1/x

Для логарифма с другим основанием формула немного сложнее:

(logₐ x)' = 1/(x * ln(a))

📝 Запомните: производная логарифма — это "единица, делённая на икс", с поправкой на основание логарифма.

🧮 Примеры с логарифмическими функциями

Пример 4: Найти производную функции f(x) = ln(x² + 1)

Здесь нам понадобится правило дифференцирования сложной функции!

f'(x) = (1/(x² + 1)) * (x² + 1)' = 
= (1/(x² + 1)) * 2x = 
= 2x/(x² + 1)

Пример 5: Найти производную функции f(x) = log₃(x⁴)

f'(x) = (1/(x⁴ * ln(3))) * (x⁴)' = 
= (1/(x⁴ * ln(3))) * 4x³ = 
= 4/(x * ln(3))

📊 Сводная таблица производных

Функция	Производная
`eˣ`	`eˣ`
`aˣ`	`aˣ * ln(a)`
`ln(x)`	`1/x`
`logₐ(x)`	`1/(x * ln(a))`

🎯 Практические задачи

Задача 1: Найдите производную функции f(x) = 2eˣ - 3ˣ

📌 Решение:

Применим правила дифференцирования суммы и разности:
f'(x) = (2eˣ)' - (3ˣ)' = 
= 2(eˣ)' - (3ˣ * ln(3)) = 
= 2eˣ - 3ˣ * ln(3)
  

Задача 2: Найдите производную функции f(x) = x³ * ln(x)

📌 Решение:

Используем правило произведения:
f'(x) = (x³)' * ln(x) + x³ * (ln(x))' = 
= 3x² * ln(x) + x³ * (1/x) = 
= 3x² * ln(x) + x² = 
= x²(3ln(x) + 1)
  

Задача 3: Найдите производную функции f(x) = eˣ / x²

📌 Решение:

Применим правило дифференцирования частного:
f'(x) = [(eˣ)' * x² - eˣ * (x²)'] / (x²)² = 
= [eˣ * x² - eˣ * 2x] / x⁴ = 
= eˣ(x² - 2x) / x⁴ = 
= eˣ(x - 2) / x³
  

💡 Советы для успешного освоения темы

📏 Всегда помните определение числа e — это основание натурального логарифма
🔢 Запоминайте основные формулы производных показательной и логарифмической функций
🧠 Тренируйтесь применять правила дифференцирования (суммы, произведения, частного)
📝 Не забывайте про цепное правило при дифференцировании сложных функций
✅ Проверяйте свои решения, подставляя конкретные значения x

Поздравляю! Теперь вы умеете находить производные показательных и логарифмических функций. Эти навыки будут очень полезны при решении более сложных математических задач и в дальнейшем изучении математического анализа. 🎓

Помните: практика — ключ к успеху! Решайте больше задач, и эти правила станут для вас естественными.