Простейшие дифференциальные уравнения: понятие и примеры

Что такое дифференциальное уравнение?

Представьте, что вы смотрите на карту местности и видите не сами города, а только дороги между ними — стрелочки, показывающие направление движения. Дифференциальное уравнение — это как раз такая «карта направлений» для функции. Оно описывает не саму функцию, а то, как она меняется — её скорость роста или убывания.

Если обычное уравнение ищет неизвестное число (например, x² - 4 = 0), то дифференциальное уравнение ищет неизвестную функцию, зная правило, которое связывает её саму и её производные.

💡 Производная — это мгновенная скорость изменения функции. Если y = f(x), то производная y' показывает, как быстро растёт или падает y при изменении x.

Самые простые дифференциальные уравнения — это уравнения с одной производной и без сложных операций. Они называются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Основные виды простейших уравнений 🧮

Мы рассмотрим два типа, с которых лучше всего начинать знакомство с этой темой.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Это самый распространённый и часто встречающийся тип. Их общий вид:

y' = f(x) * g(y)

Идея решения в том, чтобы «разделить» иксы и игреки — собрать всё с y (включая dy) с одной стороны равенства, а всё с x (включая dx) — с другой. После этого можно проинтегрировать обе части.

Алгоритм решения:

Записать производную y' как dy/dx
Перенести множители так, чтобы с одной стороны были только y и dy, а с другой — x и dx
Проинтегрировать обе части
Выразить y (если нужно)

2. Линейные однородные уравнения

Их можно привести к виду:

y' + P(x)*y = 0

Их решение также основано на разделении переменных, и они всегда имеют экспоненциальный ответ.

Решаем первую задачу шаг за шагом 📝

Задача 1

Условие: Решите дифференциальное уравнение y' = x / y.

Решение:

🎯 Шаг 1: Записываем производную в дифференциальной форме
Вспоминаем, что y' = dy/dx. Переписываем наше уравнение:
dy/dx = x / y

🎯 Шаг 2: Разделяем переменные
Умножаем обе части на dx и на y, чтобы «развести» иксы и игреки по разные стороны знака равенства:
y * dy = x * dx

🎯 Шаг 3: Интегрируем обе части
Теперь можно интегрировать слева по y, а справа по x:
∫ y dy = ∫ x dx
Вычисляем интегралы:
(1/2) * y² = (1/2) * x² + C
где C — произвольная постоянная интегрирования.

🎯 Шаг 4: Упрощаем ответ (выражаем y)
Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
y² = x² + 2C
Поскольку 2C — это тоже какая-то постоянная, можно обозначить её как C₁. Часто для простоты пишут просто C, помня, что это уже другая постоянная. Окончательный ответ:
y² = x² + C
Или, если выразить y:
y = ±√(x² + C)

Ответ: y² = x² + C, где C — любая постоянная.

Проверяем решение на практике 🔍

Давайте убедимся, что наш ответ работает. Возьмём конкретное значение постоянной, например, C = 0. Тогда наше решение будет иметь вид y = x (возьмём положительный корень).

Найдём производную этой функции: y' = 1.

Подставим y и y' в исходное уравнение y' = x / y:

1 = x / x

1 = 1

✅ Верно! Равенство выполняется. Наше решение правильное.

📘 Важно: Решение дифференциального уравнения — это не одно число, а целое семейство функций, зависящее от постоянной C. Эту постоянную можно найти, если известно дополнительное условие (например, значение функции в какой-то точке).

Решаем вторую задачу ➕

Задача 2

Условие: Решите уравнение y' + 2xy = 0.

Решение:

🎯 Шаг 1: Записываем в дифференциальной форме и разделяем переменные
dy/dx = -2xy
dy/y = -2x dx

🎯 Шаг 2: Интегрируем
∫ (1/y) dy = ∫ (-2x) dx
ln|y| = -x² + C

🎯 Шаг 3: Выражаем y
Чтобы избавиться от логарифма, используем экспоненту:
|y| = e^{-x² + C}
Это можно переписать как:
|y| = e^{C} * e^{-x²}
Поскольку e^{C} — это положительная постоянная, обозначим её как C₁. А так как модуль даёт два решения, окончательно получаем:
y = C * e^{-x²}
где C — любая постоянная (может быть как положительной, так и отрицательной).

Ответ: y = C * e^{-x²}