Простейшие тригонометрические уравнения: tg x = a, ctg x = a
📌 Основные понятия
Сегодня мы разберемся с уравнениями, содержащими тангенс и котангенс. Давайте вспомним, что это за функции!
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg α = sin α / cos α
Котангенс — это обратная величина к тангенсу:
ctg α = cos α / sin α = 1 / tg α
Важно помнить: тангенс не существует, когда косинус равен нулю, а котангенс — когда синус равен нулю!
🎯 Уравнение tg x = a
Это уравнение означает: "при каком значении x тангенс равен a?".
Поскольку тангенс — функция периодическая (повторяется каждые π радиан), у такого уравнения будет бесконечно много решений.
💡 Главное решение:x = arctg a + πn, гдеn ∈ Z(n — любое целое число)
Арктангенс (arctg) — это функция, обратная тангенсу. Она возвращает угол, тангенс которого равен заданному числу.
Давайте рассмотрим пример:
📝 Пример 1: Решите уравнение tg x = √3
Шаг 1: Найдем главное решение (когда n = 0)
x = arctg √3
Шаг 2: Вспомним, что тангенс равен √3 при угле π/3 радиан (или 60°)
x = π/3
Шаг 3: Запишем общее решение с учетом периода
x = π/3 + πn, n ∈ Z
Проверим: при n = 1 → x = π/3 + π = 4π/3, tg(4π/3) = tg(π + π/3) = tg(π/3) = √3
📊 Уравнение ctg x = a
Принцип решения такой же, как и для тангенса!
💡 Главное решение:x = arcctg a + πn, гдеn ∈ Z
Арккотангенс (arcctg) — функция, обратная котангенсу.
📝 Пример 2: Решите уравнение ctg x = 1
Шаг 1: Найдем главное решение
x = arcctg 1
Шаг 2: Котангенс равен 1 при угле π/4 радиан (45°)
x = π/4
Шаг 3: Запишем общее решение
x = π/4 + πn, n ∈ Z
Проверим: при n = 1 → x = π/4 + π = 5π/4, ctg(5π/4) = ctg(π + π/4) = ctg(π/4) = 1
📋 Сводная таблица решений
| Уравнение | Общее решение | Ограничения |
|---|---|---|
| tg x = a | x = arctg a + πn, n ∈ Z | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z |
| ctg x = a | x = arcctg a + πn, n ∈ Z | x ≠ πk, k ∈ Z |
🎯 Запомните: период у обеих функций равен π, поэтому мы прибавляем πn, а не 2πn!
🔢 Частные случаи
Рассмотрим особые значения, которые часто встречаются в задачах:
| Уравнение | Решение |
|---|---|
| tg x = 0 | x = πn, n ∈ Z |
| tg x = 1 | x = π/4 + πn, n ∈ Z |
| tg x = -1 | x = -π/4 + πn, n ∈ Z |
| ctg x = 0 | x = π/2 + πn, n ∈ Z |
| ctg x = 1 | x = π/4 + πn, n ∈ Z |
| ctg x = -1 | x = 3π/4 + πn, n ∈ Z |
🧮 Практические задачи
Задача 1: Решите уравнение tg x = -√3
Пошаговое решение:
- Записываем общую формулу:
x = arctg(-√3) + πn - Арктангенс от -√3 равен -π/3 (так как tg(-π/3) = -√3)
- Получаем ответ:
x = -π/3 + πn, n ∈ Z
Задача 2: Решите уравнение ctg x = √3
Пошаговое решение:
- Записываем общую формулу:
x = arcctg(√3) + πn - Арккотангенс от √3 равен π/6 (так как ctg(π/6) = √3)
- Получаем ответ:
x = π/6 + πn, n ∈ Z
Задача 3: Решите уравнение 2tg x - 2 = 0
Пошаговое решение:
- Переносим постоянные:
2tg x = 2 - Делим на 2:
tg x = 1 - Записываем ответ:
x = π/4 + πn, n ∈ Z
💡 Полезные советы
- Всегда проверяйте ограничения! Помните, где тангенс и котангенс не существуют
- Для запоминания: тангенс "любит" π, а не 2π как синус и косинус
- Рисуйте единичную окружность — это помогает visualizar решения
- При работе с отрицательными значениями используйте нечетность тангенса:
tg(-x) = -tg(x)
📘 Запомните: главное — понять геометрический смысл решений на единичной окружности. Каждому уравнению соответствует две точки на окружности, а все остальные решения получаются добавлением полных оборотов!
