Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Основные тригонометрические функции
Давайте познакомимся с главными героями нашего урока — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Эти функции описывают отношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
🎯 Запомните: эти функции работают только в прямоугольных треугольниках!
Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом α:
- Синус угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе
- Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе
- Тангенс угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему
- Котангенс угла α — отношение прилежащего катета к противолежащему
| Функция | Обозначение | Формула |
|---|---|---|
| Синус | sin α | противолежащий / гипотенуза |
| Косинус | cos α | прилежащий / гипотенуза |
| Тангенс | tg α | противолежащий / прилежащий |
| Котангенс | ctg α | прилежащий / противолежащий |
Основные свойства и тождества
Тригонометрические функции связаны между собой удивительными математическими отношениями!
🔺 Основное тригонометрическое тождество
Самая важная формула, которую нужно запомнить:
sin²α + cos²α = 1
Это тождество всегда верно для любого угла α!
📘 Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом
tg α = sin α / cos α ctg α = cos α / sin α
А также:
tg α × ctg α = 1
💡 Совет: если забыли формулу для тангенса, просто разделите синус на косинус!
Четность и нечетность функций
Тригонометрические функции обладают интересными свойствами симметрии:
- Нечетные функции: sin α, tg α, ctg α
sin(-α) = -sin α tg(-α) = -tg α ctg(-α) = -ctg α
- Четная функция: cos α
cos(-α) = cos α
Это означает, что график косинуса симметричен относительно оси Y, а графики синуса, тангенса и котангенса симметричны относительно начала координат.
Периодичность
Все тригонометрические функции являются периодическими — их значения повторяются через определенные интервалы:
- sin α и cos α: период 360° или 2π
sin(α + 360°) = sin α cos(α + 360°) = cos α
- tg α и ctg α: период 180° или π
tg(α + 180°) = tg α ctg(α + 180°) = ctg α
📝 Заметка: период — это расстояние по горизонтали, через которое график функции полностью повторяется.
Формулы приведения
Эти формулы помогают работать с углами больше 90°:
sin(90° - α) = cos α cos(90° - α) = sin α sin(90° + α) = cos α cos(90° + α) = -sin α
Для запоминания используйте правило: функция меняется на ко-функцию (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), а знак определяется по исходной функции в первой четверти.
Практические задачи
Давайте закрепим знания на практике!
Задача 1
Найдите значение выражения: sin²30° + cos²30°
Решение:
- Мы знаем, что sin 30° = 1/2
- cos 30° = √3/2
- sin²30° = (1/2)² = 1/4
- cos²30° = (√3/2)² = 3/4
- Суммируем:
1/4 + 3/4 = 4/4 = 1
Как и ожидалось, получилась 1 — это подтверждает основное тригонометрическое тождество!
Задача 2
Упростите выражение: tg α × ctg α + sin²α
Решение:
- Мы знаем, что
tg α × ctg α = 1 - Подставляем:
1 + sin²α - Ответ:
1 + sin²α
Дальше это выражение упростить нельзя, так как мы не знаем значение угла α.
Задача 3
Найдите значение: sin(-45°) + cos(-60°) - tg(-30°)
Решение:
- sin(-45°) = -sin 45° = -√2/2
- cos(-60°) = cos 60° = 1/2
- tg(-30°) = -tg 30° = -1/√3
- Подставляем:
-√2/2 + 1/2 - (-1/√3) = -√2/2 + 1/2 + 1/√3
Это окончательный ответ, так как числа имеют разные знаменатели.
🔍 Важные выводы
- Синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством
- Тангенс и котангенс можно выразить через синус и косинус
- Функции обладают свойствами четности/нечетности
- Все функции периодичны с разными периодами
- Формулы приведения помогают работать с любыми углами
✨ Помните: практика — ключ к успеху в тригонометрии! Решайте как можно больше задач, чтобы эти свойства запомнились естественным образом.
Тригонометрия кажется сложной только на первый взгляд. Как только вы поймете эти основные свойства, вы увидите красоту и гармонию математических законов! 🧮💫
