Точки разрыва и их классификация

Что такое точка разрыва? 🎯

Представь себе дорогу 🛣️. В большинстве мест по ней можно проехать без проблем — она непрерывна. Но если на дороге внезапно появится яма или мост, который куда-то ведёт, но его нет на карте — это будет разрыв. Так и в математике: функция в большинстве точек ведёт себя «нормально», но в некоторых — «ломается».

Точка разрыва — это такая точка x = a, в которой функция f(x) ведёт себя «странно». Она либо не определена, либо её значение «скачет», либо уходит в бесконечность.

💡 Запомни: если функцию можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги — она непрерывна. Если в какой-то точке карандаш придётся оторвать — это точка разрыва.

Три основных типа разрывов

Разрывы бывают трёх видов. Они отличаются тем, как ведёт себя функция при приближении к «проблемной» точке слева и справа.

Тип разрыва	Описание	Как выглядит график 📈
Устранимый	Слева и справа функция стремится к одному числу, но в самой точке она или не определена, или определена по-другому	«Дырочка» в графике
Разрыв 1-го рода (скачок)	Слева и справа есть конечные пределы, но они не равны друг другу	График «разрывается» и делает скачок
Разрыв 2-го рода	Хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен	График уходит в бесконечность (вертикальная асимптота)

---

Устранимый разрыв 🔧

Это самый «безобидный» разрыв. Его можно «исправить», просто доопределив функцию в этой точке.

Условия:

• Существуют оба односторонних предела
• Они равны между собой: limx→a⁻ f(x) = limx→a⁺ f(x) = L
• Но либо сама функция в точке a не определена, либо f(a) ≠ L

Задача 1

Условие: Исследуй функцию f(x) = (x² - 4) / (x - 2) на непрерывность. Найди точки разрыва и классифицируй их.

Решение:

1. Функция не определена при x = 2, так как знаменатель обращается в ноль.
2. Упростим выражение для x ≠ 2:

   (x² - 4) / (x - 2) = ((x - 2)(x + 2)) / (x - 2) = x + 2

3. Найдём предел при x → 2:

   limx→2 f(x) = limx→2 (x + 2) = 4

4. Предел существует и равен 4, но f(2) не существует.

Ответ: Точка x = 2 — устранимый разрыв. Если доопределить функцию, положив f(2) = 4, то она станет непрерывной.

---

Разрыв первого рода (скачок) 🔺

В этом случае слева и справа функция стремится к разным конечным числам. График буквально «разрывается» и делает скачок.

Условия:

• Существуют оба односторонних предела
• Но они не равны друг другу: limx→a⁻ f(x) ≠ limx→a⁺ f(x)

Задача 2

Условие: Функция задана кусочно:

f(x) = {
  x + 1, если x < 1
  3,     если x ≥ 1
}

Исследуй её на непрерывность в точке x = 1.

Решение:

1. Найдём предел слева: limx→1⁻ f(x) = limx→1⁻ (x + 1) = 2
2. Найдём предел справа: limx→1⁺ f(x) = limx→1⁺ 3 = 3
3. Пределы существуют, но не равны: 2 ≠ 3
4. Значение функции в точке: f(1) = 3

Ответ: В точке x = 1 разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна 3 - 2 = 1.

---

Разрыв второго рода 🚀

Самый «серьёзный» тип разрыва. Хотя бы одна из сторон уходит в бесконечность или вообще не существует.

Условия:

• Хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Задача 3

Условие: Исследуй функцию f(x) = 1 / (x - 3) на непрерывность.

Решение:

1. Функция не определена при x = 3.
2. Найдём предел слева: limx→3⁻ 1/(x-3) = -∞
3. Найдём предел справа: limx→3⁺ 1/(x-3) = +∞
4. Оба предела бесконечны.

Ответ: Точка x = 3 — разрыв второго рода. Прямая x = 3 является вертикальной асимптотой графика этой функции.