Вероятность суммы двух событий

Что такое вероятность суммы событий?

Представьте, что вы бросаете игральный кубик 🎲. Событие A — выпало чётное число (2, 4, 6). Событие B — выпало число больше 4 (5, 6). А что если мы хотим узнать вероятность того, что выпадет ИЛИ чётное число, ИЛИ число больше 4? Вот здесь нам и пригодится правило сложения вероятностей!

Вероятность суммы двух событий A и B — это вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий: или A, или B, или оба сразу.

Основная формула

Формула для нахождения вероятности суммы двух событий выглядит так:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A * B)

Где:

P(A + B) — вероятность того, что произойдет событие A ИЛИ событие B
P(A) — вероятность события A
P(B) — вероятность события B
P(A * B) — вероятность того, что произойдут ОБА события одновременно

Почему мы вычитаем P(A * B)? 🤔 Потому что когда мы складываем P(A) и P(B), мы дважды учитываем те исходы, где события происходят одновременно! Их нужно учесть только один раз.

Разбираем на примере

Вернемся к нашему кубику. Всего возможных исходов 6 (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Определим вероятности:

Событие A: выпало чётное число (2, 4, 6) → P(A) = 3/6 = 1/2
Событие B: выпало число больше 4 (5, 6) → P(B) = 2/6 = 1/3
Событие A * B: выпало число, которое И чётное, И больше 4 (только 6) → P(A * B) = 1/6

Теперь найдем вероятность суммы:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A * B) = 1/2 + 1/3 - 1/6

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

P(A + B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3

Проверим логически: благоприятные исходы для A + B — это 2, 4, 5, 6. То есть 4 исхода из 6. Действительно, 4/6 = 2/3. Формула сработала! ✅

Важный частный случай: несовместные события

Бывают ситуации, когда два события НЕ МОГУТ произойти одновременно. Такие события называются несовместными.

Например, при броске кубика:

Событие C: выпало число 1
Событие D: выпало число 6

Они не могут произойти одновременно при одном броске. В этом случае P(C * D) = 0, и формула упрощается:

P(C + D) = P(C) + P(D)

Для нашего примера: P(C + D) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Запомните это важное правило! 🎯

Алгоритм решения задач

Чтобы не запутаться, действуйте по шагам:

Внимательно прочитайте условие задачи.
Определите, какие события даны (назовите их, например, A и B).
Найдите вероятности каждого события в отдельности: P(A) и P(B).
Определите, являются ли события совместными (могут ли произойти вместе).
Если события совместные, найдите вероятность их произведения P(A * B).
Подставьте все значения в формулу: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A * B).
Если события несовместные, используйте упрощенную формулу: P(A + B) = P(A) + P(B).

Решаем задачу вместе

Давайте закрепим знания на практике!

Условие задачи

В классе 30 учеников. Из них 12 занимаются волейболом, 8 — плаванием, а 3 ученика занимаются и тем, и другим. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается волейболом ИЛИ плаванием?

Решение

Шаг 1: Определим события

Событие V: ученик занимается волейболом
Событие P: ученик занимается плаванием

Шаг 2: Найдем вероятности каждого события

Всего учеников: 30
P(V) = 12/30 = 2/5
P(P) = 8/30 = 4/15

Шаг 3: Найдем вероятность одновременного события

3 ученика занимаются и тем, и другим → P(V * P) = 3/30 = 1/10

Шаг 4: Подставим в формулу сложения вероятностей

P(V + P) = P(V) + P(P) - P(V * P) = 12/30 + 8/30 - 3/30 = 17/30

Ответ: вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается волейболом или плаванием, равна 17/30.

Проверь себя

Попробуй решить эти задачи самостоятельно, а потом сверься с ответами ниже.

Задача 1

В колоде 36 карт. Какова вероятность вытянуть туза или бубновую карту?

Подсказка: В колоде 4 туза, 9 бубновых карт и 1 бубновый туз (который учтен в обоих группах).

Задача 2

Монету бросают два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орел?

Подсказка: Составьте таблицу всех возможных исходов (ОО, ОР, РО, РР).