Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Введение в бесконечно малые функции

Представьте, что вы приближаетесь к определенной точке на графике функции. Некоторые функции ведут себя очень интересно — они становятся все меньше и меньше, практически "исчезая" при приближении к этой точке. Именно такие функции мы называем бесконечно малыми. 📉

Давайте дадим точное определение:

Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если ее предел в точке a равен нулю: lim(x→a) α(x) = 0

Примеры бесконечно малых функций:

• f(x) = x - 1 при x → 1
• f(x) = sin(x) при x → 0
• f(x) = x² при x → 0

Важно понимать, что "бесконечно малая" — это не какое-то конкретное число, а функция, которая стремится к нулю в определенной точке.

---

Свойства бесконечно малых функций

Бесконечно малые функции обладают интересными свойствами, которые помогают нам работать с ними:

Свойство	Описание	Пример
Сумма	Сумма двух бесконечно малых функций тоже бесконечно малая	(x² + x³) → 0 при x→0
Произведение	Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая	x * sin(1/x) → 0 при x→0
Произведение	Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая	x² * x³ = x⁵ → 0 при x→0

Запомните: бесконечно малые можно сравнивать по скорости стремления к нулю. Например, x² стремится к нулю быстрее, чем x, при x → 0.

---

Бесконечно большие функции 📈

Теперь рассмотрим противоположное понятие — бесконечно большие функции. Эти функции не ограничены и могут принимать сколь угодно большие значения при приближении к некоторой точке.

Функция f(x) называется бесконечно большой при x → a, если ее модуль неограниченно возрастает: lim(x→a) f(x) = ∞

Примеры бесконечно больших функций:

• f(x) = 1/x при x → 0
• f(x) = tg(x) при x → π/2
• f(x) = ln(x) при x → 0+

Важно: бесконечно большая функция — это не просто "очень большая" функция, а функция, которая неограниченно возрастает при приближении к определенной точке.

---

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими

Эти два понятия тесно связаны между собой! 🔄

Если функция α(x) является бесконечно малой при x → a и не равна нулю в некоторой окрестности точки a, то функция f(x) = 1/α(x) будет бесконечно большой при x → a.

И наоборот: если функция f(x) бесконечно большая при x → a, то функция α(x) = 1/f(x) будет бесконечно малой при x → a.

Пример:

• α(x) = x — бесконечно малая при x → 0
• f(x) = 1/x — бесконечно большая при x → 0

---

Сравнение бесконечно малых функций

Когда мы работаем с пределами, часто нужно сравнить, какая из бесконечно малых функций стремится к нулю "быстрее". Для этого мы используем понятие эквивалентных бесконечно малых.

Две бесконечно малые функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x → a, если:

lim(x→a) α(x)/β(x) = 1

Обозначается это как: α(x) ~ β(x) при x → a

Таблица часто используемых эквивалентностей при x → 0:

Функция	Эквивалентность
sin(x)	~ x
tg(x)	~ x
arcsin(x)	~ x
1 - cos(x)	~ x²/2
ln(1 + x)	~ x
e^x - 1	~ x

Совет: запомните эти эквивалентности — они сильно упростят вычисление многих пределов! 🎯

---

Практические задачи

Давайте закрепим материал на практических примерах.

Задача 1

Найдите предел: lim(x→0) (sin(3x))/(2x)

Решение:

1. Замечаем, что при x → 0, sin(3x) ~ 3x
2. Подставляем эквивалентность: (3x)/(2x) = 3/2
3. Ответ: 3/2

Задача 2

Найдите предел: lim(x→0) (1 - cos(4x))/(x²)

Решение:

1. Используем эквивалентность: 1 - cos(4x) ~ (4x)²/2 = 8x²
2. Подставляем: (8x²)/(x²) = 8
3. Ответ: 8

Задача 3

Исследуйте функцию f(x) = (x² - 1)/(x - 1) при x → 1