Числовые последовательности: предел последовательности

Что такое предел последовательности? 🎯

Представьте, что вы идёте по длинному коридору к двери. С каждым шагом вы всё ближе к ней, почти касаетесь ручки, но никогда её не достигнете, если остановитесь прямо перед ней. Эта дверь — и есть предел вашего движения. В математике мы говорим о пределах последовательностей похожим образом.

Числовая последовательность — это просто упорядоченный набор чисел. Например:

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Члены этой последовательности становятся всё меньше и меньше, приближаясь к нулю. Мы говорим, что предел этой последовательности равен нулю.

📘 Определение: Число A называется пределом последовательности {aₙ}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε почти все члены последовательности находятся в интервале (A - ε; A + ε).

Звучит сложно? Давайте разберем на простом примере!

Разбираем на примере ➕

Рассмотрим последовательность: aₙ = 1/n, где n — натуральное число (n = 1, 2, 3, ...).

Выпишем несколько её членов:

n = 1: a₁ = 1/1 = 1
n = 2: a₂ = 1/2 = 0.5
n = 3: a₃ = 1/3 ≈ 0.333
n = 4: a₄ = 1/4 = 0.25
n = 100: a₁₀₀ = 1/100 = 0.01
n = 1000: a₁₀₀₀ = 1/1000 = 0.001

Мы видим, что с ростом n значение 1/n становится всё меньше и меньше, неограниченно приближаясь к нулю. Какое бы маленькое положительное число ε мы ни взяли (например, 0.001), всегда найдётся такой номер N (в нашем случае N=1001), что для всех n > N будет выполняться неравенство |1/n - 0| < ε.

Таким образом, предел последовательности aₙ = 1/n равен 0. Математическая запись этого факта:

lim (n→∞) 1/n = 0

💡 Запомните: запись n→∞ читается как «n стремится к бесконечности». Это означает, что мы рассматриваем поведение последовательности при неограниченном возрастании номера n.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности 🔺

Не у всех последовательностей есть конечный предел.

Тип последовательности	Определение	Пример
Сходящаяся	Имеет конечный предел	`aₙ = 1/n`, предел = 0
Расходящаяся	Не имеет конечного предела	`aₙ = n²` (стремится к ∞) `aₙ = (-1)ⁿ` (колеблется: -1, 1, -1, 1...)

🎯 Ключевая мысль: Сходящаяся последовательность «устаканивается» около некоторого числа. Расходящаяся — либо уходит на бесконечность, либо постоянно «прыгает», не приближаясь к какому-то одному числу.

Свойства пределов последовательностей 🧮

Пределы подчиняются простым арифметическим правилам, которые очень упрощают жизнь. Если последовательности {aₙ} и {bₙ} сходятся, и lim aₙ = A, lim bₙ = B, то:

Предел суммы: lim (aₙ + bₙ) = A + B
Предел разности: lim (aₙ - bₙ) = A - B
Предел произведения: lim (aₙ * bₙ) = A * B
Предел частного: lim (aₙ / bₙ) = A / B (при условии, что B ≠ 0)
Предел постоянной: lim (c * aₙ) = c * A, где c — постоянное число

Эти свойства позволяют разбивать сложные последовательности на простые части и легко находить их пределы.

Решаем задачи вместе! 📝

Задача 1

Условие: Найдите предел последовательности aₙ = (3n² + 2n) / (n² + 1).

Решение:

Разделим числитель и знаменатель на n² (старшую степень n в знаменателе), чтобы упростить выражение:
aₙ = (3 + 2/n) / (1 + 1/n²)
Теперь найдем предел каждого слагаемого отдельно, используя свойства пределов:
- lim (3) = 3 (предел постоянной)
- lim (2/n) = 0 (как в нашем первом примере)
- lim (1) = 1
- lim (1/n²) = 0
Подставляем полученные значения в выражение:
lim aₙ = (3 + 0) / (1 + 0) = 3 / 1 = 3

Ответ: lim (n→∞) (3n² + 2n) / (n² + 1) = 3

Задача 2

Условие: Найдите предел последовательности aₙ = (4n - 1) / (5n + 2).