Доказательство методом от противного

🎯 Что такое метод от противного?

Представьте, что вы детектив, который пытается доказать, что подозреваемый виновен. Вы начинаете с предположения, что он невиновен, и ищете противоречия в этом утверждении. Если вы их находите — значит, ваше первоначальное предположение было неверным, и подозреваемый виновен! 🕵️‍♂️

В математике этот метод называется доказательством от противного. Мы предполагаем, что утверждение, которое хотим доказать, ложно, и показываем, что это предположение приводит к противоречию. Значит, наше предположение было неверным, и исходное утверждение — истинно!

💡 Совет: Метод от противного особенно полезен, когда прямое доказательство сложно или невозможно построить.

---

📘 Алгоритм доказательства

Давайте разберем шаги метода на простом примере:

1. Сформулируйте утверждение, которое нужно доказать (например, "Число √2 является иррациональным")
2. Предположите противное — что утверждение ложно ("Предположим, что √2 — рациональное число")
3. Логически выведите следствия из этого предположения
4. Найдите противоречие — либо с известными фактами, либо внутри ваших выводов
5. Сделайте вывод, что предположение было ложным, а значит исходное утверждение истинно

Шаг	Действие	Пример
1	Утверждение	√2 — иррациональное число
2	Предположение	Предположим, √2 — рациональное
3	Выводы	Тогда √2 = m/n, где m,n — целые
4	Противоречие	m и n оказываются четными одновременно
5	Вывод	Предположение ложно ⇒ √2 иррационально

---

🔢 Пример 1: Простое доказательство

Утверждение: Докажите, что не существует наибольшего натурального числа.

Доказательство:

1. Предположим противное: пусть существует наибольшее натуральное число N
2. Рассмотрим число N + 1
3. Но N + 1 > N, и N + 1 — тоже натуральное число
4. Получили противоречие: число N не может быть наибольшим, если есть число больше
5. Значит, наше предположение неверно ⇒ наибольшего натурального числа не существует

🎯 Запомните: Противоречие должно быть четким и неоспоримым, как в этом примере!

---

🧮 Пример 2: Классическое доказательство иррациональности √2

Утверждение: √2 является иррациональным числом.

Доказательство:

1. Предположим противное: √2 — рациональное число
2. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби: √2 = m/n, где m и n — натуральные числа, не имеющие общих делителей
3. Возведем обе части в квадрат: 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n²
4. Значит, m² четное число ⇒ m тоже четное (так как квадрат нечетного числа нечетен)
5. Пусть m = 2k, тогда (2k)² = 2n² ⇒ 4k² = 2n² ⇒ n² = 2k²
6. Значит, n² четное число ⇒ n тоже четное
7. Но мы получили, что m и n оба четные ⇒ дробь m/n сократима
8. Это противоречит нашему предположению о несократимости дроби
9. Значит, исходное предположение неверно ⇒ √2 — иррациональное число

---

🔺 Пример 3: Геометрическая задача

Утверждение: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство:

1. Пусть в треугольнике ABC сторона AB > стороны AC
2. Предположим противное: угол C ≤ углу B
3. Если углы равны, то треугольник равнобедренный ⇒ стороны равны, но AB > AC — противоречие
4. Если угол C < угла B, то по теореме о соотношении сторон и углов: AB < AC
5. Но это противоречит условию AB > AC
6. Значит, наше предположение неверно ⇒ угол C > угла B

---

💪 Практические задачи

Задача 1

Условие: Докажите, что сумма четного и нечетного чисел всегда нечетна.

Решение:

1. Предположим противное: сумма четного (2k) и нечетного (2m+1) чисел четна
2. Тогда: 2k + (2m + 1) = 2n
3. Упрощаем: 2(k + m) + 1 = 2n
4. Левая часть нечетна (четное + 1), правая четна ⇒ противоречие
5. Значит, предположение неверно ⇒ сумма четного и нечетного чисел нечетна

Задача 2

Условие: Докажите, что уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Решение:

1. Предположим противное: пусть существует действительный корень x
2. Тогда x² + 1 = 0 ⇒ x² = -1
3. Но квадрат любого действительного числа неотрицателен: x² ≥ 0
4. Получаем -1 ≥ 0 — очевидное противоречие
5. Значит, предположение неверно ⇒ действительных корней нет