Формула Ньютона–Лейбница

Что такое формула Ньютона–Лейбница?

Представьте, что вам нужно найти площадь сложной фигуры, например, криволинейной трапеции под параболой. Раньше мы бы разбивали её на множество маленьких прямоугольников и складывали их площади — это был долгий и неточный процесс. Формула Ньютона–Лейбница даёт нам мощный инструмент для вычисления определённых интегралов быстро и элегантно! 🎯

Эта формула связывает две важнейшие операции математического анализа:

• Дифференцирование (нахождение производной)
• Интегрирование (нахождение первообразной)

📘 Главная идея: Определённый интеграл от функции на отрезке [a, b] равен разности значений первообразной в точках b и a.

Формулировка теоремы

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а F(x) — любая её первообразная, то справедлива формула:

∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Где:

• ∫[a→b] f(x) dx — определённый интеграл от a до b
• F(b) — значение первообразной в точке b
• F(a) — значение первообразной в точке a

Разность F(b) - F(a) часто записывают как F(x)|[a→b]

💡 Запомните: Формула работает только для непрерывных функций на заданном промежутке!

---

Почему это так важно? ➕

До появления этой формулы вычисление площадей криволинейных фигур было крайне сложной задачей. Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга открыли эту фундаментальную связь между интегралом и первообразной, что революционизировало математический анализ.

Теперь вместо трудоёмкого процесса суммирования бесконечно малых величин мы можем:

1. Найти первообразную функции
2. Подставить в неё пределы интегрирования
3. Вычислить разность этих значений

Алгоритм применения формулы

Давайте разберём по шагам, как применять формулу Ньютона–Лейбница:

1. Убедитесь, что функция непрерывна на отрезке [a, b]
2. Найдите любую первообразную F(x) для функции f(x)
3. Вычислите F(b) и F(a)
4. Найдите разность: F(b) - F(a)

---

Примеры решения задач

Задача 1. Простой интеграл

Вычислите: ∫[1→3] (2x + 1) dx

Решение:

1. Находим первообразную: F(x) = x² + x + C
2. Вычисляем значения:
   • F(3) = 3² + 3 = 9 + 3 = 12
   • F(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2
3. Находим разность: F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10

Ответ: 10

Задача 2. Интеграл от степенной функции

Вычислите: ∫[0→2] x³ dx

Решение:

1. Первообразная: F(x) = x⁴/4 + C
2. Вычисляем:
   • F(2) = 2⁴/4 = 16/4 = 4
   • F(0) = 0⁴/4 = 0/4 = 0
3. Разность: 4 - 0 = 4

Ответ: 4

Задача 3. С тригонометрической функцией 🔺

Вычислите: ∫[0→π/2] cos(x) dx

Решение:

1. Первообразная: F(x) = sin(x) + C
2. Вычисляем:
   • F(π/2) = sin(π/2) = 1
   • F(0) = sin(0) = 0
3. Разность: 1 - 0 = 1

Ответ: 1

---

Геометрический смысл

С геометрической точки зрения формула Ньютона–Лейбница позволяет вычислить площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной:

• Графиком функции y = f(x)
• Прямыми x = a и x = b
• Осью OX

Если функция принимает отрицательные значения, интеграл будет отрицательным, и это будет означать, что соответствующая площадь находится ниже оси OX.

📐 Для нахождения площади фигуры всегда используйте модуль интеграла на соответствующих промежутках!

Практические советы

Ситуация	Решение
Функция имеет разрыв на [a, b]	Разбейте интеграл на части по точкам разрыва
Не можете найти первообразную	Попробуйте метод замены переменной или интегрирование по частям
Пределы интегрирования бесконечны	Это несобственный интеграл — используйте предельный переход

---

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4

Вычислите интеграл: ∫[1→4] (3x² - 2x + 5) dx