Интегрирование по частям

Что такое интегрирование по частям? 🧠

Интегрирование по частям — это мощный метод, который помогает находить интегралы от произведений функций. Представь, что у тебя есть две функции, перемноженные друг с другом, и тебе нужно найти интеграл от этого произведения. Именно здесь на помощь приходит этот метод!

Основная идея основана на формуле производной произведения двух функций. Если вспомнить, что производная от u*v равна u'v + uv', то, интегрируя обе части, мы получаем нашу волшебную формулу:

🎯 Ключевая формула:
∫ u dv = u*v - ∫ v du

Где u и dv — части нашего подынтегрального выражения, которые мы выбираем.

Как выбрать u и dv? 🤔

Правильный выбор u и dv — это 90% успеха! Запомни простое правило — правило ЛИПЕТ (LIPET), которое помогает определить, какую часть выражения выбрать за u:

L — Логарифмические функции (например, ln x)
I — Обратные тригонометрические функции (например, arcsin x)
P — Многочлены (например, x², 3x + 2)
E — Экспоненциальные функции (например, e^x)
T — Тригонометрические функции (например, sin x, cos x)

Выбирай u в порядке приоритета сверху вниз!

💡 Совет: Функция, которую ты берешь за u, должна упрощаться при дифференцировании, а dv должна легко интегрироваться.

Пошаговый алгоритм 📋

Выбери части выражения: u и dv
Найди du (дифференциал u) и v (интеграл от dv)
Подставь все в формулу: ∫ u dv = u*v - ∫ v du
Вычисли новый интеграл ∫ v du
Если необходимо, повтори процесс для нового интеграла

Разберем на примерах! 🔢

Пример 1: Простой случай

Найти интеграл: ∫ x·e^x dx

Шаг 1: Выбираем u и dv

По правилу ЛИПЕТ: многочлен (x) имеет приоритет над экспонентой (e^x)

u = x
dv = e^x dx

Шаг 2: Находим du и v

du = dx (производная от x)
v = e^x (интеграл от e^x dx)

Шаг 3: Подставляем в формулу

∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ e^x dx

Шаг 4: Вычисляем оставшийся интеграл

∫ e^x dx = e^x + C

Ответ:

∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

Пример 2: С логарифмической функцией

Найти интеграл: ∫ ln x dx

Здесь только одна функция, но мы можем представить ее как произведение: ln x · 1

Шаг 1: Выбираем u и dv

u = ln x (логарифм — высший приоритет по ЛИПЕТ)
dv = dx

Шаг 2: Находим du и v

du = (1/x) dx
v = x

Шаг 3: Подставляем в формулу

∫ ln x dx = x·ln x - ∫ x·(1/x) dx = x·ln x - ∫ 1 dx

Ответ:

∫ ln x dx = x·ln x - x + C

Типичные ошибки и как их избежать ⚠️

Ошибка	Как избежать
Неправильный выбор u и dv	Всегда используй правило ЛИПЕТ
Забываешь константу интегрирования	Всегда добавляй +C в конце
Ошибки в дифференцировании и интегрировании	Повтори основы производных и интегралов
Зацикливаешься на сложном интеграле	Если интеграл не упрощается, попробуй поменять u и dv местами

Практические задачи для закрепления 🎯

Задача 1

Найти интеграл: ∫ x·cos x dx

💡 Подсказка: Многочлен имеет приоритет над тригонометрической функцией

Решение:

Выбираем: u = x, dv = cos x dx
Находим: du = dx, v = sin x
Подставляем: ∫ x·cos x dx = x·sin x - ∫ sin x dx
Вычисляем: x·sin x - (-cos x) + C = x·sin x + cos x + C

Задача 2

Найти интеграл: ∫ x²·e^x dx