Исследование функции с помощью производной: экстремумы

📌 Что такое экстремумы функции?

Экстремумы — это точки на графике функции, где она достигает своего наибольшего или наименьшего значения на некотором промежутке. Есть два типа:

Максимум 🎯 — точка, где функция имеет наибольшее значение
Минимум 📉 — точка, где функция имеет наименьшее значение

Производная помогает нам находить эти точки! Если в некоторой точке производная меняет знак, то это и есть экстремум.

💡 Запомни: экстремумы бывают локальными (в некоторой окрестности) и глобальными (на всей области определения).

📐 Алгоритм исследования функции на экстремумы

Найти производную функции f'(x)
Найти критические точки: решить уравнение f'(x) = 0
Определить знаки производной на интервалах между критическими точками
Сделать вывод о наличии экстремумов

Если при переходе через критическую точку производная:

Меняет знак с "+" на "-" — это точка максимума
Меняет знак с "-" на "+" — это точка минимума
Не меняет знак — экстремума нет

🧮 Пример исследования функции

Задача 1:

Исследовать функцию f(x) = x³ - 3x² + 2 на экстремумы

Решение:

1️⃣ Находим производную:

f'(x) = 3x² - 6x

2️⃣ Приравниваем производную к нулю:

3x² - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2

3️⃣ Определяем знаки производной на интервалах:

Интервал	Знак f'(x)	Поведение f(x)
(-∞; 0)	+	Возрастает ↗
(0; 2)	-	Убывает ↘
(2; +∞)	+	Возрастает ↗

4️⃣ Делаем вывод:

При переходе через x = 0 производная меняет знак с "+" на "-" ⇒ точка максимума
При переходе через x = 2 производная меняет знак с "-" на "+" ⇒ точка минимума

5️⃣ Находим значения функции в этих точках:

f(0) = 0³ - 3×0² + 2 = 2
f(2) = 2³ - 3×2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Ответ: максимум в точке (0; 2), минимум в точке (2; -2)

🎯 Практическое задание

Задача 2:

Найдите экстремумы функции f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 5

💡 Совет: не забудьте проверить знаки производной на интервалах!

Пошаговое решение:

1️⃣ Находим производную:

f'(x) = 6x² - 18x + 12

2️⃣ Приравниваем к нулю:

6x² - 18x + 12 = 0
x² - 3x + 2 = 0
x₁ = 1, x₂ = 2

3️⃣ Определяем знаки производной:

Интервал	Знак f'(x)	Поведение f(x)
(-∞; 1)	+	Возрастает ↗
(1; 2)	-	Убывает ↘
(2; +∞)	+	Возрастает ↗

4️⃣ Делаем вывод:

В точке x = 1 — максимум
В точке x = 2 — минимум

5️⃣ Находим значения функции:

f(1) = 2×1³ - 9×1² + 12×1 - 5 = 0
f(2) = 2×8 - 9×4 + 12×2 - 5 = -1

Ответ: максимум в точке (1; 0), минимум в точке (2; -1)

🔺 Важные моменты

Экстремум может быть только в критических точках, но не всякая критическая точка — экстремум
Всегда проверяйте знаки производной слева и справа от критической точки
Если производная не меняет знак — это точка перегиба, а не экстремум

✨ Помни: практика — ключ к успеху! Решайте больше задач, и исследование функций станет легким и понятным.

Теперь ты умеешь находить экстремумы функций с помощью производной! Это мощный инструмент для анализа поведения функций и решения практических задач. 🚀