Комбинированные задачи на максимум и минимум

Что такое комбинированные задачи на оптимизацию?

Эти задачи объединяют несколько разделов математики — обычно геометрию и алгебру — и требуют найти такое значение переменной, при котором некоторая величина (площадь, объём, длина) становится максимальной или минимальной. Это увлекательный процесс, похожий на поиск наилучшего решения в реальной жизни! 🎯

💡 Главная идея: мы выражаем целевую функцию через одну переменную, а затем исследуем её на экстремум с помощью производной.

📐 Классический пример: задача на максимум площади

Рассмотрим одну из самых известных задач этого типа.

Условие: Из прямоугольного листа картона со сторонами 80 см и 50 см нужно изготовить открытую коробку, вырезав по углам квадраты и загнув края. При каком размере квадрата объём коробки будет наибольшим?

Шаг 1: Геометрическое моделирование

Представьте, что мы вырезаем по углам квадраты со стороной x. После загибания краёв высота коробки будет равна x, а стороны основания:

Длина: 80 - 2x
Ширина: 50 - 2x

Шаг 2: Составление функции

Объём коробки — это произведение длины, ширины и высоты:

V(x) = x ⋅ (80 - 2x) ⋅ (50 - 2x)

Раскроем скобки, чтобы упростить дифференцирование:

V(x) = x ⋅ (4000 - 160x - 100x + 4x²) = 4x³ - 260x² + 4000x

Шаг 3: Находим производную

Производная функции объема:

V'(x) = 12x² - 520x + 4000

Шаг 4: Решаем уравнение V'(x) = 0

Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:

12x² - 520x + 4000 = 0

Сократим на 4:

3x² - 130x + 1000 = 0

Дискриминант:

D = 130² - 4⋅3⋅1000 = 16900 - 12000 = 4900

Корни:

x = (130 ± 70) / 6

x₁ = 33,33...; x₂ = 10

Шаг 5: Анализ корней

Корень x₁ = 33,33 не подходит по смыслу задачи (при таком x ширина основания 50 - 2x станет отрицательной). Ответ: x = 10 см.

🔺 Ещё один пример: минимум расстояния

Условие: Точка A находится на прямой y = 2x + 1. Найдите координаты точки A, расстояние от которой до точки B(4; 3) будет наименьшим.

Шаг 1: Вводим переменную

Пусть искомая точка A имеет координаты (x; 2x + 1).

Шаг 2: Функция расстояния

Расстояние между точками A и B:

d = √[(x - 4)² + (2x + 1 - 3)²] = √[(x - 4)² + (2x - 2)²]

Чтобы упростить дифференцирование, можно минимизировать квадрат расстояния (экстремумы совпадают):

f(x) = (x - 4)² + (2x - 2)²

Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем

f(x) = x² - 8x + 16 + 4x² - 8x + 4 = 5x² - 16x + 20

Шаг 4: Производная и приравнивание к нулю

f'(x) = 10x - 16

10x - 16 = 0  =>  x = 1,6

Шаг 5: Находим координаты точки A

y = 2 ⋅ 1,6 + 1 = 4,2

Ответ: точка с координатами (1,6; 4,2).

🎯 Совет: Всегда проверяйте, подходят ли найденные значения по смыслу задачи! Особенно важно проверять концы промежутка, если они входят в область определения.

📘 Общий алгоритм решения

Внимательно прочитайте условие и определите, что нужно максимизировать или минимизировать.
Введите переменную (обычно её выбирают так, чтобы было проще выразить другие величины).
Составьте функцию, которая выражает целевую величину через введённую переменную.
Найдите производную этой функции.
Приравняйте производную к нулю и решите полученное уравнение.
Исключите корни, не входящие в область определения или не подходящие по смыслу задачи.
Запишите ответ и при необходимости проверьте его.

📊 Полезная таблица типичных задач

Тип задачи	Что оптимизируется	Переменная
Геометрические задачи	Площадь, периметр, объём	Размер элемента фигуры
Задачи на движение	Время, путь	Координата, скорость
Экономические задачи	Прибыль, затраты	Количество товара

💪 Практическое задание

Задача: Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² нужно огородить забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была наименьшей?