Метод координат в пространстве: векторы
Что такое вектор в пространстве? 📐
Представьте, что вам нужно описать движение из одной точки комнаты в другую. Вектор — это именно то, что нам нужно! Это направленный отрезок, который показывает направление и длину перемещения.
Каждый вектор в пространстве имеет три координаты: (x; y; z). Они показывают, на сколько нужно переместиться вдоль каждой из осей координат.
💡 Запомните: вектор — это не точка в пространстве, а перемещение между точками!
Примеры векторов:
- Вектор перемещения:
(2; -1; 3)— двигаемся на 2 единицы вправо, на 1 вниз и на 3 вперед - Нулевой вектор:
(0; 0; 0)— отсутствие перемещения
Как найти координаты вектора 🧮
Чтобы найти координаты вектора по двум точкам пространства, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки.
Формула:
AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁)
Давайте разберем на примере:
Задача: Найдите координаты вектора AB, если A(1; -2; 5) и B(4; 3; -1)
Решение:
- Находим разность по x:
4 - 1 = 3 - Находим разность по y:
3 - (-2) = 5 - Находим разность по z:
-1 - 5 = -6 - Записываем ответ:
AB = (3; 5; -6)
📌 Совет: Всегда проверяйте порядок точек — из КОНЕЧНОЙ вычитаете НАЧАЛЬНУЮ!
Длина вектора — модуль 📏
Длина вектора показывает, какое расстояние мы преодолеваем при таком перемещении. Находится по формуле, похожей на теорему Пифагора в пространстве.
Формула длины вектора a = (x; y; z):
|a| = √(x² + y² + z²)
Пример:
Найдите длину вектора a = (2; -3; 6)
Решение:
- Возводим каждую координату в квадрат:
2² = 4,(-3)² = 9,6² = 36 - Складываем:
4 + 9 + 36 = 49 - Извлекаем корень:
√49 = 7 - Ответ:
|a| = 7
Операции с векторами ➕➖✖️
Сложение векторов
Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствующие координаты:
a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
Вычитание векторов
Чтобы вычесть векторы, вычитаем соответствующие координаты:
a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)
Умножение на число
При умножении вектора на число, умножаем каждую координату на это число:
k · a = (k·x; k·y; k·z)
Пример задачи:
Даны векторы: a = (1; -2; 4), b = (3; 0; -1)
Найдите: 2a - b
Решение:
- Умножаем вектор a на 2:
2a = (2; -4; 8) - Вычитаем вектор b:
(2 - 3; -4 - 0; 8 - (-1)) - Получаем:
(-1; -4; 9) - Ответ:
2a - b = (-1; -4; 9)
Скалярное произведение векторов 🔺
Это очень важная операция! Она показывает, насколько два вектора "сонаправлены" и используется для нахождения угла между векторами.
Формула скалярного произведения:
a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂
Угол между векторами находится по формуле:
cos(α) = (a · b) / (|a| · |b|)
Пример:
Найдите угол между векторами a = (1; 2; -1) и b = (2; -1; 3)
Решение:
- Находим скалярное произведение:
1·2 + 2·(-1) + (-1)·3 = 2 - 2 - 3 = -3 - Находим длины векторов:
|a| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6|b| = √(2² + (-1)² + 3²) = √14
- Находим косинус угла:
cos(α) = -3 / (√6 · √14) - Ответ: угол тупой (так как косинус отрицательный)
🎯 Важно: Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны!
Практические задачи для закрепления 📝
Задача 1
Даны точки: A(2; -1; 3), B(5; 2; -1), C(0; 4; 2). Найдите векторы AB, BC и CA.
Решение:
- AB = (5-2; 2-(-1); -1-3) = (3; 3; -4)
- BC = (0-5; 4-2; 2-(-1)) = (-5; 2; 3)
- CA = (2-0; -1-4; 3-2) = (2; -5; 1)
Задача 2
Найдите длину вектора a = (4; -4; 2) и вектор, противоположный ему.
Решение:
- Длина:
|a| = √(4² + (-4)² + 2²) = √36 = 6 - Противоположный вектор:
-a = (-4; 4; -2)
Задача 3
Докажите, что векторы a = (1; -2; 3) и b = (4; 2; -1) перпендикулярны.
