Метод замены переменной в интегралах

Суть метода замены переменной

Представь, что тебе нужно перенести тяжелый чемодан. Ты можешь взять его как есть, а можешь переложить вещи в удобный рюкзак — так будет проще донести! 🎒 Метод замены переменной в интегралах — это и есть наш "математический рюкзак".

Этот метод позволяет упростить сложный интеграл, заменив переменную интегрирования на новую. Если видишь сложную функцию под интегралом, которая напоминает производную от другой функции — это наш случай!

💡 Ключевая идея: мы заменяем выражение внутри интеграла новой переменной, чтобы получить более простой интеграл, который легко взять.

Формально метод основан на формуле:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

где u = g(x), а du = g'(x) dx

---

Алгоритм применения метода

Давай разберем по шагам, как правильно делать замену:

1. Выдели сложную часть подынтегрального выражения
2. Обозначь ее новой переменной (обычно u)
3. Найди дифференциал du
4. Вырази весь интеграл через новую переменную
5. Вычисли получившийся простой интеграл
6. Вернись к исходной переменной

Самая частая ошибка — забыть выразить dx через du! 📌 Всегда следи, чтобы в новом интеграле не осталось следов старой переменной.

---

Разбираем на примерах

Пример 1: Простая замена

Найти интеграл:

∫ 2x · cos(x²) dx

Решение:

1. Замечаем, что x² — сложная часть, а 2x похоже на ее производную
2. Пусть u = x²
3. Тогда du = 2x dx
4. Подставляем в интеграл: ∫ cos(u) du
5. Интегрируем: sin(u) + C
6. Возвращаемся к x: sin(x²) + C

Вот и все! Мы превратили сложный интеграл в простой ∫ cos(u) du. ✨

Пример 2: Замена с дробью

Найти интеграл:

∫ (3x² + 2x) / (x³ + x² + 5) dx

Решение:

1. Замечаем, что производная знаменателя (x³ + x² + 5)' = 3x² + 2x точно равна числителю!
2. Пусть u = x³ + x² + 5
3. Тогда du = (3x² + 2x) dx
4. Получаем: ∫ du/u = ∫ 1/u du
5. Интегрируем: ln|u| + C
6. Ответ: ln|x³ + x² + 5| + C

🎯 Совет: всегда проверяй, не является ли числитель производной знаменателя — это частый случай для замены!

---

Типичные случаи замены переменной

Вид интеграла	Замена	Пример
∫ f(ax + b) dx	u = ax + b	∫ (2x + 3)⁵ dx
∫ f'(x)/f(x) dx	u = f(x)	∫ tan(x) dx
∫ f(g(x))·g'(x) dx	u = g(x)	∫ 2x·e^(x²) dx

Со временем ты начнешь узнавать эти шаблоны и делать замену почти автоматически! 🚀

---

Практические задания

Задача 1

Найди интеграл:

∫ 4x³ · (x⁴ + 1)⁵ dx

Решение:

1. Пусть u = x⁴ + 1
2. Тогда du = 4x³ dx
3. Интеграл превращается в: ∫ u⁵ du
4. Интегрируем: u⁶/6 + C
5. Ответ: (x⁴ + 1)⁶/6 + C

Задача 2 (посложнее)

Найди интеграл:

∫ x · √(2x² + 3) dx

Решение:

1. Пусть u = 2x² + 3
2. Тогда du = 4x dx, значит x dx = du/4
3. Подставляем: ∫ √u · (du/4) = (1/4) ∫ u^(1/2) du
4. Интегрируем: (1/4) · (2/3) u^(3/2) + C = (1/6) u^(3/2) + C
5. Ответ: (1/6)(2x² + 3)^(3/2) + C

📘 Помни: после интегрирования всегда возвращайся к исходной переменной, если не указано иное!

---

Проверь себя

Попробуй решить самостоятельно:

1. ∫ 5cos(5x) dx
2. ∫ (6x² - 4x) / (2x³ - 2x² + 1) dx
3. ∫ e^(3x) dx

Не забудь проверить свои ответы дифференцированием — это лучший способ убедиться в правильности решения! ✅

Метод замены переменной — один из самых мощных инструментов в интегрировании. С практикой ты научишься видеть нужную замену с первого взгляда. Keep calm and integrate on! 😊