Неопределенный интеграл: таблица интегралов

Что такое неопределенный интеграл?

Представьте, что у нас есть функция, которая описывает скорость движения автомобиля 🚗. Неопределенный интеграл поможет нам найти путь, который проехал автомобиль! Если производная показывает "скорость изменения", то интеграл — это операция, обратная дифференцированию. Он позволяет восстановить первоначальную функцию по ее производной.

💡 Важно: Интегрирование — это процесс нахождения первообразной функции. Если F'(x) = f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C, где С — произвольная постоянная.

Постоянная C появляется потому, что при дифференцировании константа "исчезает". Например, производные функций x², x² + 5 и x² - 3 одинаковы и равны 2x.

---

Таблица основных интегралов 📘

Для успешного интегрирования нужно знать основные формулы. Выучите эту таблицу — она станет вашим главным инструментом!

Функция	Интеграл
∫0 dx	C
∫1 dx	x + C
∫xⁿ dx (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫1/x dx	ln|x| + C
∫eˣ dx	eˣ + C
∫aˣ dx	aˣ/ln(a) + C
∫sin(x) dx	-cos(x) + C
∫cos(x) dx	sin(x) + C
∫1/cos²(x) dx	tg(x) + C
∫1/sin²(x) dx	-ctg(x) + C

Запомните эти формулы — они такие же важные, как таблица умножения в математике! 🎯

---

Свойства неопределенных интегралов

Интегрирование обладает полезными свойствами, которые помогают упрощать вычисления:

• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

  ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx

• Интеграл суммы равен сумме интегралов:

  ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

• Интеграл разности равен разности интегралов:

  ∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx

🔍 Совет: Всегда проверяйте результат интегрирования дифференцированием! Просто возьмите производную от вашего ответа — должна получиться исходная функция.

---

Решаем задачи вместе! 🧮

Задача 1

Найдите интеграл: ∫(3x² + 4x - 5)dx

Решение:

1. Применяем свойство интеграла суммы:

   ∫(3x² + 4x - 5)dx = ∫3x²dx + ∫4xdx - ∫5dx

2. Выносим постоянные множители:

   = 3∫x²dx + 4∫xdx - 5∫dx

3. Применяем табличные интегралы:

   = 3·(x³/3) + 4·(x²/2) - 5·x + C

4. Упрощаем выражение:

   = x³ + 2x² - 5x + C

Проверка: найдем производную от x³ + 2x² - 5x + C → 3x² + 4x - 5 ✅

Задача 2

Найдите интеграл: ∫(2eˣ + 3/x)dx

Решение:

1. Разбиваем на два интеграла:

   ∫(2eˣ + 3/x)dx = ∫2eˣdx + ∫3/x dx

2. Выносим постоянные множители:

   = 2∫eˣdx + 3∫1/x dx

3. Применяем табличные интегралы:

   = 2eˣ + 3ln|x| + C

Проверка: производная от 2eˣ + 3ln|x| + C → 2eˣ + 3/x ✅

---

Практикуемся! ✍️

Попробуйте решить самостоятельно:

1. ∫(4x³ - 2x + 7)dx
2. ∫(5cos(x) - 3/sin²(x))dx
3. ∫(2ˣ + 1/√x)dx (подсказка: √x = x¹⸍²)

💪 Не сдавайтесь, если сразу не получается! Математика требует практики. Решайте каждый день по несколько примеров, и скоро вы будете щелкать интегралы как орешки!

Важные моменты для запоминания

• 📌 Всегда добавляйте + C в конце
• 📌 Проверяйте результат дифференцированием
• 📌 Учите таблицу интегралов наизусть
• 📌 Тренируйтесь регулярно

Интегрирование — это увлекательный процесс восстановления функций из их производных. Помните: каждый решенный интеграл делает вас на шаг ближе к мастерству в математике! 🌟