Объем тел вращения: применение интеграла

📌 Что такое объем тела вращения?

Представьте, что вы вращаете плоскую фигуру вокруг прямой (оси) — она заметает в пространстве объемное тело. Это и есть тело вращения! 🎠 Самые известные примеры:

• 📏 Цилиндр — вращение прямоугольника вокруг стороны
• 🍦 Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета
• ⚽ Шар — вращение круга вокруг диаметра

Сегодня мы научимся вычислять объемы таких тел с помощью интеграла — это мощный математический инструмент, который позволяет "нарезать" тело на тонкие слои и сложить их объемы.

---

🧮 Основная формула объема

Если фигура вращается вокруг оси OX, объем вычисляется по формуле:

V = π ∫[a;b] (f(x))² dx

Где:

• a и b — пределы интегрирования по оси OX
• f(x) — функция, ограничивающая фигуру сверху
• (f(x))² — площадь круга на каждом "срезе" тела

Почему именно так? 🤔 Представьте, что мы разрезаем тело на тонкие диски толщиной dx. Каждый такой диск — кружок радиуса f(x), поэтому его объем:

dV = π · (радиус)² · толщина = π · (f(x))² · dx

А чтобы найти весь объем, нужно сложить объемы всех таких дисков от x = a до x = b — это и есть интеграл!

---

📝 Пошаговый алгоритм вычисления

1. 📐 Нарисуйте фигуру, которая вращается
2. 🎯 Определите ось вращения
3. 📊 Запишите функцию f(x), ограничивающую фигуру
4. 🔢 Найдите пределы интегрирования a и b
5. 🧮 Запишите интеграл: V = π ∫[a;b] (f(x))² dx
6. ➗ Вычислите интеграл

Давайте разберем на конкретном примере! 👇

---

🔢 Пример 1: Объем конуса

Задача: Найдите объем конуса высотой H и радиусом основания R с помощью интеграла.

Решение:

1. Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета
2. Разместим ось вращения OX вдоль высоты конуса
3. Уравнение образующей: прямая через точки (0, 0) и (H, R)

Найдем уравнение этой прямой:

y = kx R = kH ⇒ k = R/H f(x) = (R/H) · x

Теперь запишем интеграл:

V = π ∫[0;H] [(R/H)·x]² dx = π·(R²/H²) ∫[0;H] x² dx

Вычислим интеграл:

∫ x² dx = x³/3 ∫[0;H] x² dx = H³/3 - 0³/3 = H³/3

Подставляем:

V = π·(R²/H²)·(H³/3) = π·R²·H/3

🎉 Получили известную формулу объема конуса!

💡 Совет: Всегда проверяйте полученную формулу — она должна совпадать с известными результатами!

---

🔢 Пример 2: Объем шара

Задача: Выведите формулу объема шара радиуса R.

Решение:

1. Шар получается вращением полукруга вокруг диаметра
2. Возьмем окружность: x² + y² = R²
3. Верхняя полуокружность: y = √(R² - x²)

Интегрируем от -R до R:

V = π ∫[-R;R] (√(R² - x²))² dx = π ∫[-R;R] (R² - x²) dx

Разбиваем интеграл на два:

V = π [∫[-R;R] R² dx - ∫[-R;R] x² dx]

Вычисляем каждый:

∫[-R;R] R² dx = R²·(R - (-R)) = 2R³ ∫[-R;R] x² dx = [x³/3]_{-R}^{R} = R³/3 - (-R³/3) = 2R³/3

Подставляем:

V = π [2R³ - 2R³/3] = π · (4R³/3) = (4/3)πR³

🏀 Вот и знаменитая формула объема шара!

---

📊 Сводная таблица формул

Тело	Функция	Пределы	Интеграл
Цилиндр	y = R	[0; H]	π ∫ R² dx
Конус	y = (R/H)x	[0; H]	π ∫ [(R/H)x]² dx
Шар	y = √(R² - x²)	[-R; R]	π ∫ (R² - x²) dx

---

🎯 Практические задачи

Задача 1

Найдите объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 1 вокруг оси OX.

Решение:

1. Пределы: от 0 до 1
2. Функция: f(x) = x²
3. Интеграл: V = π ∫[0;1] (x²)² dx = π ∫[0;1] x⁴ dx
4. Вычисляем: ∫ x⁴ dx = x⁵/5
5. Ответ: V = π/5