Определенный интеграл: понятие и вычисление

Что такое определенный интеграл? 🎯

Представь, что тебе нужно найти площадь фигуры с кривыми линиями. Обычные формулы для прямоугольников или треугольников здесь не помогут. Именно для таких случаев и нужен определенный интеграл!

Определенный интеграл — это число, которое показывает площадь под кривой на заданном отрезке. Если неформально — это "сумма" бесконечно малых прямоугольников под графиком функции.

Математически он записывается так:

∫[a, b] f(x) dx

Где:

• ∫ — знак интеграла
• a и b — пределы интегрирования (нижний и верхний)
• f(x) — подынтегральная функция
• dx — дифференциал, указывающий переменную интегрирования

---

Связь с первообразной ➕

Самое важное открытие в интегральном исчислении — формула Ньютона-Лейбница:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Где F(x) — первообразная для функции f(x), то есть такая функция, что F'(x) = f(x).

Запомни: вычисление определенного интеграла — это нахождение первообразной и подстановка в нее пределов интегрирования!

Разницу F(b) - F(a) часто записывают как F(x)|[a, b].

---

Основные правила вычисления 📏

При вычислении интегралов полезны эти свойства:

Свойство	Формула
Постоянный множитель	∫[a, b] c·f(x) dx = c·∫[a, b] f(x) dx
Сумма функций	∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx
Смена пределов	∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx
Разбиение отрезка	∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx

Пошаговый алгоритм вычисления 🔢

1. Найди первообразную функцию F(x) для f(x)
2. Подставь верхний предел: вычисли F(b)
3. Подставь нижний предел: вычисли F(a)
4. Найди разность: F(b) - F(a)

Совет: всегда проверяй, что найденная первообразная правильная — ее производная должна равняться исходной функции!

---

Практические примеры ✨

Задача 1

Вычисли интеграл: ∫[0, 2] 3x² dx

Решение:

1. Находим первообразную: F(x) = x³ (потому что (x³)' = 3x²)
2. Вычисляем F(2) = 2³ = 8
3. Вычисляем F(0) = 0³ = 0
4. Находим разность: 8 - 0 = 8

Ответ: 8

Задача 2

Вычисли интеграл: ∫[1, 4] (2x + 1) dx

Решение:

1. Первообразная: F(x) = x² + x (проверяем: (x² + x)' = 2x + 1)
2. F(4) = 4² + 4 = 16 + 4 = 20
3. F(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2
4. 20 - 2 = 18

Ответ: 18

Задача 3 посложнее

Вычисли интеграл: ∫[0, π] sin(x) dx

Решение:

1. Первообразная для sin(x) это -cos(x)
2. F(π) = -cos(π) = -(-1) = 1
3. F(0) = -cos(0) = -1
4. 1 - (-1) = 2

Ответ: 2

---

Геометрическая интерпретация 📐

Давай проверим наш первый пример geometrically. Функция 3x² на отрезке [0, 2] — это парабола. Мы вычислили площадь под ней от 0 до 2 и получили 8.

Интересный факт: если функция на отрезке принимает отрицательные значения, то интеграл будет отрицательным и будет равен площади со знаком минус!

Типичные ошибки и как их избежать ⚠️

• Не забывай про константу: При вычислении неопределенного интеграла мы добавляем + C, но в определенном интеграле константа сокращается!
• Порядок подстановки: Всегда сначала подставляй верхний предел, потом нижний!
• Проверяй первообразную: Дифференцируй найденную первообразную — должна получиться исходная функция!

---

Практика для закрепления 🏋️

Задача для самостоятельного решения

Вычисли интеграл: ∫[0, 1] (4x³ - 2x + 5) dx

Показать решение

1. Находим первообразную: F(x) = x⁴ - x² + 5x
2. F(1) = 1 - 1 + 5 = 5
3. F(0) = 0 - 0 + 0 = 0
4. 5 - 0 = 5

Ответ: 5