Основы математической логики: высказывания, кванторы
Что такое высказывание?
Давайте начнём с самого главного понятия — высказывания. Высказывание — это любое предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Например:
2 + 2 = 4— истинное высказывание ✅Москва — столица России— истинное высказывание ✅5 > 10— ложное высказывание ❌
А вот примеры НЕ высказываний:
- «Давайте решим эту задачу» — это призыв к действию, а не утверждение
- «Как прекрасен этот мир!» — это восклицание, его нельзя проверить на истинность
- «x + 3 = 5» — это уравнение, а не высказывание (неизвестно, при каком x)
💡 Запомните: высказывание всегда имеет логическое значение — ИСТИНА или ЛОЖЬ
Логические операции
С высказываниями можно выполнять различные логические операции, как с числами в арифметике. Давайте изучим основные из них.
Отрицание (НЕ)
Обозначается символом ¬ или словом «не». Меняет значение высказывания на противоположное.
| Высказывание A | ¬A (не A) |
|---|---|
| Истина (1) | Ложь (0) |
| Ложь (0) | Истина (1) |
Пример: A = «2 × 2 = 4» (истина), тогда ¬A = «2 × 2 ≠ 4» (ложь)
Конъюнкция (И)
Обозначается символом ∧ или словом «и». Даёт истину только когда ОБА высказывания истинны.
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример: «Сегодня солнечно» ∧ «Сегодня тепло» — истинно только в солнечный и тёплый день
Дизъюнкция (ИЛИ)
Обозначается символом ∨ или словом «или». Даёт истину когда ХОТЯ БЫ ОДНО высказывание истинно.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример: «Я пойду в кино» ∨ «Я пойду в театр» — истинно, если пойду хотя бы куда-то одно
🎯 Важно: в математике «ИЛИ» означает «или то, или другое, или оба» — это включающее ИЛИ
Кванторы — мощные инструменты логики
Теперь перейдём к более сложному, но очень важному понятию — кванторам. Они помогают работать с выражениями, содержащими переменные.
Квантор всеобщности (∀)
Читается «для любого» или «для всех». Обозначает, что утверждение верно для КАЖДОГО объекта.
Пример: ∀x (x + 0 = x) — «для любого x сумма x и 0 равна x»
Квантор существования (∃)
Читается «существует» или «найдётся». Обозначает, что существует ХОТЯ БЫ ОДИН объект, для которого утверждение верно.
Пример: ∃x (x × x = 4) — «существует x такой, что x в квадрате равен 4» (например, x = 2 или x = -2)
📘 Подсказка: квантор всеобщности похож на слово «всегда», а квантор существования — на слово «иногда»
Практические задачи
Давайте закрепим знания на практике! Попробуйте решить эти задачи самостоятельно, а потом сверьтесь с решениями.
Задача 1: Определите тип предложения
Какие из этих предложений являются высказываниями?
- Решите уравнение x² - 4 = 0
- Все кошки — млекопитающие
- Красивая погода сегодня!
Решение:
- НЕ высказывание — это команда, а не утверждение
- Высказывание (истинное) — можно проверить на истинность
- НЕ высказывание — это восклицание, субъективная оценка
Задача 2: Работа с кванторами
Запишите с помощью кванторов следующие утверждения:
- Каждое чётное число делится на 2
- Существует натуральное число, которое больше 100
Решение:
∀x (x — чётное → x делится на 2)∃x ∈ N (x > 100), где N — множество натуральных чисел
Задача 3: Отрицание высказываний с кванторами
Сформулируйте отрицание высказывания: «Все ученики нашего класса любят математику»
Решение:
Отрицание: «Не все ученики нашего класса любят математику» или более точно: «Существует хотя бы один ученик в нашем классе, который не любит математику»
В формальной записи: если исходное высказывание ∀x (x любит математику), то его отрицание ∃x (x не любит математику)
