Первообразная и ее свойства

Что такое первообразная? 🤔

Представьте, что у нас есть функция f(x). Первообразная для нее — это такая функция F(x), производная которой равна исходной функции. То есть:

Если F'(x) = f(x), то F(x) — первообразная для f(x).

Проще говоря, первообразная — это операция, обратная дифференцированию. Если производная показывает скорость изменения, то первообразная помогает «восстановить» исходную функцию по ее скорости изменения.

Например, если мы знаем скорость движения тела в каждый момент времени, то с помощью первообразной мы можем найти пройденный путь.

Давайте рассмотрим простой пример:

f(x) = 2x

Какая функция при дифференцировании даст 2x? Конечно же, F(x) = x², потому что:

(x²)' = 2x

Но есть и другие функции, которые тоже будут первообразными для 2x:

F(x) = x² + 1, F(x) = x² - 5, F(x) = x² + C

где C — любая постоянная.

Свойства первообразной ✨

Первообразная обладает несколькими важными свойствами, которые нужно знать:

Неединственность: Если функция имеет одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных, отличающихся на постоянную.
Линейность: Первообразная суммы функций равна сумме первообразных, а постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

Давайте запишем эти свойства математически:

Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то:

F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x)

k × F(x) — первообразная для k × f(x)

Рассмотрим пример применения этих свойств:

f(x) = 3x² + 4x

Найдем первообразную, используя свойства линейности:

F(x) = 3 × (x³/3) + 4 × (x²/2) + C = x³ + 2x² + C

Таблица основных первообразных 📋

Для быстрого нахождения первообразных полезно знать таблицу основных функций:

Функция f(x)	Первообразная F(x)
`0`	`C`
`1`	`x + C`
`xⁿ` (n ≠ -1)	`xⁿ⁺¹/(n+1) + C`
`1/x`	`ln\|x\| + C`
`eˣ`	`eˣ + C`
`sin x`	`-cos x + C`
`cos x`	`sin x + C`

Запомните: постоянная C всегда добавляется к первообразной!

Решение задач 🎯

Давайте потренируемся находить первообразные на конкретных примерах.

Задача 1

Найдите первообразную для функции: f(x) = 4x³ - 3x² + 2x - 1

Решение:

Применяем правило для каждой степени x и свойство линейности:
F(x) = 4 × (x⁴/4) - 3 × (x³/3) + 2 × (x²/2) - 1 × x + C
F(x) = x⁴ - x³ + x² - x + C

Задача 2

Найдите первообразную для функции: f(x) = 5eˣ + 3cos x

Решение:

Используем таблицу первообразных:
F(x) = 5eˣ + 3sin x + C

Задача 3

Найдите первообразную для функции: f(x) = (2x + 1)³

Решение:

Сначала раскроем скобки:
(2x + 1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1
Теперь найдем первообразную:
F(x) = 8 × (x⁴/4) + 12 × (x³/3) + 6 × (x²/2) + x + C
F(x) = 2x⁴ + 4x³ + 3x² + x + C

Практическое применение 🔧

Первообразные широко используются в физике для решения различных задач:

Нахождение пути по известной скорости
Определение работы переменной силы
Вычисление площади под кривой

Рассмотрим физическую задачу:

Тело движется со скоростью v(t) = 3t² + 2t (м/с). Найдите закон движения тела, если в начальный момент времени t = 0 тело находилось в точке S = 5 метров.

Решение:

Скорость — это производная от пути, поэтому путь — это первообразная от скорости:
S(t) = ∫(3t² + 2t)dt = t³ + t² + C
Используем начальное условие: при t = 0, S = 5
5 = 0³ + 0² + C ⇒ C = 5
Ответ: S(t) = t³ + t² + 5

Проверь себя 📝

Теперь попробуйте решить задачи самостоятельно:

Найдите первообразную для f(x) = 6x⁵ - 4x³ + 2
Найдите первообразную для f(x) = 2/x + 3sin x
Тело движется с ускорением a(t) = 6t (м/с²). Найдите закон изменения скорости, если в начальный момент времени скорость была равна 2 м/с.

Не забудьте добавлять постоянную C к своим ответам! 😊

Подсказка: ускорение — это производная от скорости, поэтому скорость — это первообразная от ускорения.