Понятие предела функции в точке

Введение в понятие предела 🎯

Представь, что ты приближаешься к определенной точке на графике функции, но не обязательно достигаешь её значения. Именно это и изучает теория пределов — поведение функции вблизи точки, а не обязательно в самой точке.

💡 Совет: Не пугайся формального определения сразу. Мы разберем его шаг за шагом на интуитивных примерах.

Рассмотрим простой пример. Функция f(x) = (x² - 1) / (x - 1) не определена в точке x = 1, потому что знаменатель обращается в ноль. Но посмотрим, что происходит с её значениями, когда x приближается к 1:

Мы видим, что по мере того, как x всё ближе подходит к 1 (и слева, и справа), значение f(x) всё ближе подходит к числу 2. Говорят, что предел функции при x, стремящемся к 1, равен 2. Записывается это так:

lim(x→1) f(x) = 2

Формальное определение (на понятном языке) 📘

Теперь, когда у нас есть интуитивное понимание, давай сформулируем определение более строго.

Число L называется пределом функции f(x) в точке x = a, если значения f(x) становятся сколь угодно близкими к L, когда x становится достаточно близким (но не обязательно равным) к a.

🎯 Ключевая идея: Мы можем заставить f(x) отличаться от L на сколь угодно маленькую величину, если возьмем x достаточно близко к a.

Это определение можно проиллюстрировать на графике:

• Мы выбираем маленький "коридор" вокруг числа L на оси Y.
• Тогда всегда можно найти такой "коридор" вокруг точки a на оси X, что для всех x внутри него (кроме, может быть, самой точки a) значения функции f(x) будут попадать в выбранный нами коридор вокруг L.

Обозначения и чтение ➕

Запись предела имеет стандартный вид:

lim(x→a) f(x) = L

Эта запись читается как: «Предел функции f(x) при x, стремящемся к a, равен L».

Важно помнить о двустороннем пределе. Для существования предела в точке a функция должна стремиться к одному и тому же числу L как при приближении x к a слева (меньших значений), так и справа (больших значений).

Если существуют отдельные пределы слева и справа, но они не равны, то говорят, что общего предела в этой точке не существует.

Практикуемся: решаем задачи 🧮

Задача 1

Дан график функции. Определи, чему равен предел lim(x→2) f(x), если известно, что f(2) = 1, но при этом функция приближается к значению 3 как слева, так и справа от точки x=2.

💡 Подсказка: Помни, что значение функции в самой точке не влияет на значение предела!

Решение:

1. Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке.
2. По условию, при приближении x к 2 и слева, и справа, значение функции стремится к 3.
3. Следовательно, несмотря на то, что f(2) = 1, предел функции в этой точке существует и равен 3.
4. Записываем ответ: lim(x→2) f(x) = 3

Задача 2

Найди предел: lim(x→3) (x² - 9) / (x - 3)

Решение:

1. При прямой подстановке x = 3 получаем неопределенность: (9 - 9) / (3 - 3) = 0/0.
2. Преобразуем выражение, чтобы устранить неопределенность. Заметим, что числитель можно разложить на множители как разность квадратов:

   (x² - 9) = (x - 3)(x + 3)

3. Подставляем в исходное выражение:

   ((x - 3)(x + 3)) / (x - 3)

4. Сокращаем на (x - 3) (помним, что x ≠ 3):

   (x + 3)

5. Теперь можем найти предел нового выражения при x→3:

   lim(x→3) (x + 3) = 3 + 3 = 6

6. Ответ: lim(x→3) (x² - 9) / (x - 3) = 6