Правила нахождения первообразных

Что такое первообразная?

Представь, что у тебя есть функция f(x). Первообразная для неё — это такая функция F(x), производная которой равна исходной функции: F'(x) = f(x). Если говорить простыми словами, это операция, обратная дифференцированию — мы как бы «возвращаемся назад» от производной.

📘 Важно! У любой функции существует бесконечно много первообразных, которые отличаются только на постоянную величину C (константу). Поэтому в ответ всегда добавляем + C.

Пример:

f(x) = 2x
F(x) = x² + C

Проверим: производная от x² + C действительно равна 2x.

---

Основные правила нахождения первообразных

Давай разберем главные правила, которые помогут тебе находить первообразные для большинства функций. Они во многом похожи на правила дифференцирования, но работают в обратную сторону.

1. Первообразная степенной функции

Если функция имеет вид f(x) = x^n, где n ≠ -1, то ее первообразная находится по формуле:

F(x) = (x^(n+1)) / (n+1) + C

Давай посмотрим на примерах:

• f(x) = x² → F(x) = (x³)/3 + C
• f(x) = √x = x^(1/2) → F(x) = (x^(3/2))/(3/2) + C = (2/3)*x√x + C

🎯 Запомни! Это правило не работает для n = -1, то есть для функции f(x) = 1/x. Её первообразная — это ln|x| + C.

2. Первообразная от постоянной (константы)

Если функция постоянна: f(x) = k (где k — число), то её первообразная:

F(x) = k*x + C

Пример:

f(x) = 5 → F(x) = 5x + C

3. Постоянный множитель можно вынести

Если у тебя есть функция f(x) = k * g(x), где k — постоянное число, то первообразную можно найти так:

F(x) = k * G(x) + C

Где G(x) — это первообразная для g(x).

Пример:

f(x) = 7x²
Находим первообразную для x²: (x³)/3
Тогда F(x) = 7 * (x³)/3 + C = (7x³)/3 + C

4. Первообразная суммы или разности функций

Первообразная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их первообразных:

∫ [f(x) ± g(x)] dx = F(x) ± G(x) + C

Пример:

f(x) = x³ + 4x - 2
F(x) = (x⁴)/4 + 4*(x²/2) - 2x + C = (x⁴)/4 + 2x² - 2x + C

---

Таблица основных первообразных

Чтобы уверенно решать задачи, полезно знать таблицу первообразных для основных функций, так же как ты знаешь таблицу производных.

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C
0	C
k (постоянная)	kx + C
x^n (n ≠ -1)	(x^(n+1))/(n+1) + C
1/x	ln|x| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

💡 Совет: Постарайся выучить эту таблицу. Она станет твоим главным инструментом для нахождения первообразных!

---

Решаем задачи вместе 🧮

Давай применим правила на практике. Я покажу тебе ход мыслей при решении.

Задача 1

Условие: Найди первообразную для функции f(x) = 3x² - 4x + 5.

Решение:

1. Разбиваем функцию на части: 3x², -4x, 5.
2. Находим первообразную для каждой части по отдельности, используя таблицу и правила:
   • Для 3x²: 3 * (x³/3) = x³
   • Для -4x: -4 * (x²/2) = -2x²
   • Для 5: 5x
3. Складываем результаты и не забываем добавить + C:

F(x) = x³ - 2x² + 5x + C

Задача 2

Условие: Найди первообразную для функции f(x) = (x² + 1) / x². Упрости выражение сначала.

Решение:

1. Упростим функцию, разделив каждое слагаемое в числителе на знаменатель:

   f(x) = (x² / x²) + (1 / x²) = 1 + x^(-2)

2. Теперь найдем первообразную для каждого слагаемого:
   • Для 1: x
   • Для x^(-2): (x^(-2+1)) / (-2+1) = (x^(-1)) / (-1) = -1/x
3. Складываем:

F(x) = x - 1/x + C