Правила вычисления пределов: основные теоремы

Основные теоремы о пределах

Приветствую, друзья! Сегодня мы разберем фундаментальные правила, которые позволяют легко вычислять пределы функций. Эти теоремы — наш главный инструмент для работы с пределами 🛠️

Представьте, что вы строите дом. Теоремы о пределах — это ваш надежный набор инструментов: молоток, пила, отвертка. Зная, как ими пользоваться, вы сможете "построить" решение даже сложных задач!

---

Теорема 1: Предел суммы и разности

Предел суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) их пределов:

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

Давайте разберем на примере:

Задача: Найдите предел lim (x² + 3x) при x → 2

Решение:

1. Разбиваем на два предела: lim x² + lim 3x
2. Вычисляем каждый предел отдельно: lim x² = 2² = 4
3. Второй предел: lim 3x = 3 × 2 = 6
4. Складываем результаты: 4 + 6 = 10

Ответ: 10 ✅

Это работает для любого количества слагаемых! ➕➖

---

Теорема 2: Предел произведения

Предел произведения функций равен произведению их пределов:

lim [f(x) × g(x)] = lim f(x) × lim g(x)

Рассмотрим пример:

Задача: Найдите предел lim (x × sin(x)) при x → π/2

Решение:

1. Представляем как произведение пределов: lim x × lim sin(x)
2. Вычисляем: lim x = π/2
3. Вычисляем: lim sin(x) = sin(π/2) = 1
4. Перемножаем: π/2 × 1 = π/2

Ответ: π/2 ✅

Эта теорема особенно полезна при работе с сложными выражениями! ✨

---

Теорема 3: Предел частного

Предел частного двух функций равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):

lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x), при условии что lim g(x) ≠ 0

Важный момент: если предел знаменателя равен нулю,我们需要 использовать другие методы решения.

Задача: Найдите предел lim (x² - 1)/(x + 2) при x → 3

Решение:

1. Проверяем знаменатель: lim (x + 2) = 3 + 2 = 5 ≠ 0 → можно применять теорему
2. Вычисляем предел числителя: lim (x² - 1) = 3² - 1 = 8
3. Вычисляем предел знаменателя: lim (x + 2) = 5
4. Делим: 8 / 5 = 1.6

Ответ: 1.6 ✅

---

Теорема 4: Предел постоянной функции

Предел постоянной величины равен самой этой величине:

lim C = C (где C — постоянное число)

Это самая простая теорема! Например:

• lim 5 = 5 (при любом x)
• lim π = π
• lim (-7) = -7

Постоянная функция всегда "остается собой" независимо от того, к чему стремится x 📏

---

Теорема 5: Предел функции, умноженной на постоянную

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim [C × f(x)] = C × lim f(x)

Задача: Найдите предел lim (4x³) при x → 1

Решение:

1. Выносим постоянную 4 за знак предела: 4 × lim x³
2. Вычисляем предел: lim x³ = 1³ = 1
3. Умножаем на постоянную: 4 × 1 = 4

Ответ: 4 ✅

---

Сводная таблица теорем

Операция	Формула	Условие
Сумма	lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)	Всегда
Разность	lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)	Всегда
Произведение	lim [f(x) × g(x)] = lim f(x) × lim g(x)	Всегда
Частное	lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)	lim g(x) ≠ 0
Постоянная	lim C = C	Всегда
Постоянный множитель	lim [C × f(x)] = C × lim f(x)	Всегда

Комбинированная задача

Давайте применим все теоремы вместе в одной задаче!

Задача: Найдите предел lim (2x² - 3x + 5)/(x + 1) при x → 2