Производная сложной функции

Что такое сложная функция? 🤔

Прежде чем говорить о производной сложной функции, давай разберемся, что это вообще такое. Представь, что у тебя есть две функции:

• Одна функция «одевает» число: u = g(x)
• Другая функция «одевает» результат первой: y = f(u)

Когда ты подставляешь результат первой функции g(x) во вторую функцию f(u), ты получаешь сложную функцию, или функцию от функции:

🎯 Сложная функция — это композиция двух функций: y = f(g(x))

Обозначается это так: y = f(g(x)) или y = (f ∘ g)(x). Давай рассмотрим на простом примере.

Пример сложной функции 🧪

Пусть g(x) = x² + 1, а f(u) = sin(u). Тогда сложная функция будет:

y = f(g(x)) = sin(x² + 1)

Видишь? Мы взяли x, возвели в квадрат и прибавили 1 (это g(x)), а потом результат подставили в синус (это f(u)).

---

Как найти производную сложной функции? 📐

Теперь перейдем к самому главному — как найти производную такой функции. Для этого есть очень важное правило:

📘 Производная сложной функции y = f(g(x)) равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу u на производную внутренней функции по x.

Звучит сложно? 😅 Давай запишем формулу:

y' = f'(u) · g'(x)

Где u = g(x).

Эту формулу также часто записывают так:

y'x = y'u · u'x

То есть производная «игрек по икс» равна производной «игрек по у» умноженной на производную «у по икс».

Пошаговый алгоритм 🔢

Чтобы легко находить производную сложной функции, следуй этим шагам:

1. Определи внутреннюю функцию u = g(x) и внешнюю y = f(u).
2. Найди производную внутренней функции: u' = g'(x).
3. Найди производную внешней функции, как будто u — это переменная: y'u = f'(u).
4. Перемножь эти производные: y'x = f'(u) · g'(x).
5. Вернись к переменной x, подставив вместо u выражение g(x).

---

Разберем на примере! ✨

Найдем производную функции y = sin(x² + 1).

Шаг 1: Определяем внутреннюю и внешнюю функции.

• Внутренняя: u = g(x) = x² + 1
• Внешняя: y = f(u) = sin(u)

Шаг 2: Находим производную внутренней функции.

u' = (x² + 1)' = 2x

Шаг 3: Находим производную внешней функции.

y'u = (sin(u))' = cos(u)

Шаг 4: Перемножаем производные.

y'x = cos(u) · 2x

Шаг 5: Возвращаемся к переменной x.

y' = cos(x² + 1) · 2x

Вот и все! Ответ: y' = 2x · cos(x² + 1)

💡 Совет: Всегда четко определяй, какая функция внутренняя, а какая внешняя. Если сомневаешься, разбей вычисления на шаги, как мы сделали выше.

---

Еще примеры для закрепления 🎯

Пример 1: Найти производную функции y = (3x + 5)⁴

Решение:

• Внутренняя функция: u = 3x + 5 ⇒ u' = 3
• Внешняя функция: y = u⁴ ⇒ y'u = 4u³
• Производная: y' = 4u³ · 3 = 12u³
• Возвращаемся к x: y' = 12(3x + 5)³

Пример 2: Найти производную функции y = √(x³ - 2x)

Решение:

• Внутренняя функция: u = x³ - 2x ⇒ u' = 3x² - 2
• Внешняя функция: y = √u = u½ ⇒ y'u = (½)u-½ = 1/(2√u)
• Производная: y' = [1/(2√u)] · (3x² - 2)
• Возвращаемся к x: y' = (3x² - 2) / (2√(x³ - 2x))