Решение задач на комбинацию многогранников и тел вращения

Введение в комбинации тел

Сегодня мы разберем увлекательный тип задач, где объединяются многогранники (как куб или пирамида) и тела вращения (как цилиндр, конус или шар). Это как собирать конструктор из разных геометрических фигур! 🧩

Главный секрет успеха — представить себе эту конструкцию и правильно определить связи между элементами: что где находится, какие грани соприкасаются, какие размеры совпадают.

💡 Совет: всегда делайте чертеж! Даже схематичный рисунок поможет лучше понять условие и избежать ошибок.

Основные принципы и связи

В таких задачах тела не просто стоят рядом, а имеют общие элементы. Вот самые частые комбинации, которые встретятся вам:

Цилиндр, вписанный в призму (обычно — в прямоугольный параллелепипед). Основания цилиндра вписаны в основания призмы.
Конус, вписанный в пирамиду. Основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины совпадают.
Шар, вписанный в цилиндр или конус. Шар касается всех образующих и оснований.
Шар, описанный около куба или пирамиды. Все вершины фигуры лежат на поверхности шара.

Ключевой момент — найти общий размер. Часто это:

Диаметр вписанного шара = высоте цилиндра
Диаметр основания цилиндра = стороне квадрата (основания призмы)
Образующая конуса = апофеме пирамиды

Комбинация тел	Основная связь
Цилиндр в призме	`d = a`, где d — диаметр цилиндра, a — сторона основания
Конус в пирамиде	`R = r`, где R — радиус основания конуса, r — радиус впис. окружности в основании пирамиды
Шар в цилиндре	`D = h = d`, где D — диаметр шара, h — высота цилиндра, d — диаметр основания

Разбираем задачу шаг за шагом 🎯

Задача 1. Цилиндр в кубе

Условие: В куб с ребром a = 6 вписан цилиндр так, что его основания лежат на противоположных гранях куба. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Сделаем рисунок. Куб, а в него «вставлен» цилиндр, касающийся всех четырех боковых граней.
Поскольку основания цилиндра лежат на гранях куба, высота цилиндра равна высоте куба.
h = a = 6
Цилиндр касается боковых граней куба. Это значит, что диаметр основания цилиндра равен стороне квадрата — грани куба.
d = a = 6, значит r = d/2 = 3
Теперь найдем объем цилиндра по формуле:
V = π * r² * h
Подставляем известные значения:
V = π * (3)² * 6
V = π * 9 * 6
V = 54π

Ответ: 54π

📘 Запомните: если цилиндр вписан в призму, его высота равна высоте призмы, а диаметр основания равен стороне прямоугольника, в который вписана окружность.

Задача 2. Конус в пирамиде

Условие: В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Сторона основания пирамиды равна 10, а ее апофема равна 13. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Снова начинаем с рисунка. Основание пирамиды — квадрат, в который вписана окружность основания конуса.
Найдем радиус r вписанной в квадрат окружности (он же будет радиусом основания конуса).
Для квадрата: r = a/2
r = 10 / 2 = 5
По условию, конус вписан в пирамиду. Это значит, что их вершины совпадают, а образующая конуса равна апофеме пирамиды.
l = 13
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле:
Sбок = π * r * l
Подставляем числа:
Sбок = π * 5 * 13
Sбок = 65π

Ответ: 65π

Практикуемся самостоятельно ✍️

Задача для закрепления

Условие: В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объема цилиндра к объему шара.

Не спешите смотреть ответ! Попробуйте решить сами, опираясь на следующий план:

Что значит «шар вписан в цилиндр»? Как он расположен?

Запишите формулы объемов цилиндра и шара.

Выразите параметры цилиндра (радиус и высоту) через радиус шара.

Составьте отношение и упростите выражение.