Скалярное произведение векторов: определение и применение
Что такое скалярное произведение? 🎯
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр). Оно показывает, насколько два вектора "совпадают" по направлению.
📘 Формула через координаты: если векторы заданы координатами a(x₁; y₁) и b(x₂; y₂), то их скалярное произведение вычисляется так:
a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂
Просто перемножаем соответствующие координаты и складываем результаты! Это одна из самых полезных формул в геометрии.
💡 Запомни: скалярное произведение — это число, а не вектор!
Геометрический смысл 📐
Скалярное произведение связано с углом между векторами:
a · b = |a| · |b| · cosα
где |a| и |b| — длины векторов, α — угол между ними.
Из этой формулы следуют важные свойства:
- Если векторы перпендикулярны →
cos90° = 0→a · b = 0 - Если векторы сонаправлены →
cos0° = 1→a · b = |a|·|b| - Если направлены противоположно →
cos180° = -1→a · b = -|a|·|b|
🎯 Совет: используй скалярное произведение для проверки перпендикулярности векторов — это быстрее, чем искать углы!
Практическое применение 🔍
Скалярное произведение используется в различных задачах:
| Задача | Как применить |
|---|---|
| Нахождение угла между векторами | cosα = (a·b) / (|a|·|b|) |
| Проверка перпендикулярности | Если a·b = 0 → векторы ⊥ |
| Вычисление проекции вектора | прₐb = (a·b) / |a| |
| Определение вида треугольника | По углам между сторонами |
Рассмотрим каждое применение на конкретных примерах.
Примеры решения задач 🧮
Задача 1: Найти угол между векторами
Дано: a(3; 4), b(5; -2). Найти угол между ними.
Решение:
- Находим скалярное произведение:
a·b = 3·5 + 4·(-2) = 15 - 8 = 7 - Находим длины векторов:
|a| = √(3² + 4²) = √25 = 5|b| = √(5² + (-2)²) = √29 ≈ 5,39
- Находим косинус угла:
cosα = 7 / (5 · 5,39) ≈ 7 / 26,95 ≈ 0,26 - Угол:
α ≈ arccos(0,26) ≈ 75°
Ответ: угол примерно 75 градусов.
Задача 2: Проверить перпендикулярность
Дано: m(2; -3), n(6; 4). Перпендикулярны ли векторы?
Решение:
- Находим скалярное произведение:
m·n = 2·6 + (-3)·4 = 12 - 12 = 0 - Поскольку
m·n = 0, векторы перпендикулярны ✅
Ответ: да, векторы перпендикулярны.
Задача 3: Найти проекцию вектора
Дано: c(4; 1), d(2; 3). Найти проекцию вектора d на вектор c.
Решение:
- Находим скалярное произведение:
c·d = 4·2 + 1·3 = 8 + 3 = 11 - Находим длину вектора c:
|c| = √(4² + 1²) = √17 ≈ 4,12 - Находим проекцию:
прₐd = 11 / 4,12 ≈ 2,67
Ответ: проекция примерно равна 2,67.
Свойства скалярного произведения 📋
Запомни эти важные свойства — они помогут в решении задач:
- Коммутативность:
a · b = b · a - Дистрибутивность:
a · (b + c) = a·b + a·c - Ассоциативность с числом:
(k·a) · b = k·(a·b) - Скалярный квадрат:
a · a = |a|²
💡 Наиболее полезное свойство: a · a = |a|². Это позволяет находить длину вектора без извлечения корня на промежуточных шагах.
Проверь себя ✏️
Задача для самостоятельного решения
Векторы p(2; -1) и q(k; 3) перпендикулярны. Найдите значение k.
Показать решение
Решение:
- Записываем условие перпендикулярности:
p·q = 0 - Подставляем координаты:
2·k + (-1)·3 = 0 - Упрощаем:
2k - 3 = 0 - Решаем уравнение:
2k = 3→k = 1,5
Ответ: k = 1,5
Попробуй решить самостоятельно, прежде чем смотреть ответ!
Заключение 🌟
Скалярное произведение — мощный инструмент в геометрии. Оно позволяет:
- ✅ Находить углы между векторами
- ✅ Проверять перпендикулярность
- ✅ Вычислять проекции
- ✅ Решать сложные геометрические задачи
