Угол между прямыми и плоскостями в пространстве

📌 Основные понятия

Прежде чем говорить об углах между прямыми и плоскостями, давайте вспомним ключевые определения. Это поможет нам уверенно двигаться дальше!

Прямая в пространстве — это бесконечная линия, которую можно задать направляющим вектором.

Плоскость — это плоская поверхность, которую можно задать нормальным вектором (перпендикулярным к ней).

🎯 Важно! Углом между двумя объектами в пространстве всегда называется наименьший угол между ними.

---

📐 Угол между двумя прямыми

Это одна из самых простых задач в стереометрии. Угол между прямыми — это угол между их направляющими векторами.

Формула для вычисления:

cos(φ) = |(a · b)| / (|a| * |b|)

Где a и b — направляющие векторы прямых, а φ — искомый угол.

💡 Совет: Не забывайте брать модуль скалярного произведения, чтобы косинус угла получился положительным, а сам угол — острым (или прямым).

🧮 Пример задачи

Условие: В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и A₁C. Пусть ребро куба равно 1.

Решение:

1. Введем систему координат с началом в точке A.
   • Ось X → AB
   • Ось Y → AD
   • Ось Z → AA₁
2. Найдем координаты точек:
   • A (0; 0; 0)
   • B₁ (1; 0; 1)
   • A₁ (0; 0; 1)
   • C (1; 1; 0)
3. Найдем координаты векторов:
   • Вектор AB₁ = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1)
   • Вектор A₁C = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (1; 1; -1)
4. Вычислим скалярное произведение:

   (1; 0; 1) · (1; 1; -1) = 1*1 + 0*1 + 1*(-1) = 1 + 0 - 1 = 0

5. Найдем длины векторов:

   |AB₁| = √(1² + 0² + 1²) = √2
   |A₁C| = √(1² + 1² + (-1)²) = √3

6. Подставим в формулу:

   cos(φ) = |0| / (√2 * √3) = 0

7. Значит, φ = arccos(0) = 90°.

Ответ: Угол между прямыми AB₁ и A₁C равен 90°.

---

📏 Угол между прямой и плоскостью

Этот угол определяется как угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Алгоритм нахождения:

1. Найти нормальный вектор плоскости (n).
2. Найти направляющий вектор прямой (a).
3. Найти угол β между вектором прямой и нормалью плоскости.
4. Искомый угол φ будет равен 90° - β.

Формула для вычисления:

sin(φ) = |(a · n)| / (|a| * |n|)

Где φ — угол между прямой и плоскостью.

📘 Запомните: Мы используем синус, потому что синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между прямой и нормалью (и наоборот).

🧮 Пример задачи

Условие: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, где SO — высота, найдите угол между прямой SC и плоскостью ABC. Ребро основания равно 2, боковое ребро равно 3.

Решение:

1. Плоскость ABC — это плоскость основания. Её нормальный вектор — это вектор высоты SO (или любой ему коллинеарный).
2. Найдем координаты точек в системе координат с началом в точке O.
   • O (0; 0; 0)
   • C (√2; 0; 0) (диагональ квадрата со стороной 2 равна 2√2, половина — √2)
   • S (0; 0; h), где h = SO. Найдем h из ΔSOC: SC² = SO² + OC².

     3² = h² + (√2)²
     9 = h² + 2
     h² = 7
     h = √7

   • Таким образом, S (0; 0; √7)
3. Найдем векторы:
   • Вектор прямой SC: от S к C → (√2 - 0; 0 - 0; 0 - √7) = (√2; 0; -√7)
   • Нормальный вектор плоскости ABC (основания) совпадает с направлением оси Z: n = (0; 0; 1)
4. Вычислим синус угла по формуле:

   sin(φ) = |(a · n)| / (|a| * |n|)
   a · n = (√2 * 0) + (0 * 0) + (-√7 * 1) = -√7
   |a · n| = √7
   |a| = √( (√2)² + 0² + (-√7)² ) = √(2 + 0 + 7) = √9 = 3
   |n| = 1
   sin(φ) = √7 / (3 * 1) = √7 / 3

5. Следовательно, φ = arcsin(√7 / 3).

Ответ: Угол между прямой SC и плоскостью ABC равен arcsin(√7 / 3).

---

🔁 Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями — это угол между их нормальными векторами.

Формула для вычисления:

cos(α) = |(n₁ · n₂)| / (|n₁| * |n₂|)

Где n₁ и n₂ — нормальные векторы к плоскостям, а α — искомый угол между плоскостями.